Kvaternion: razlika između inačica
+matematička svojstva |
mNema sažetka uređivanja |
||
Redak 17: | Redak 17: | ||
==== Konjugacija ==== |
==== Konjugacija ==== |
||
'''Konjugacija''' je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original <math>q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}</math>, konjugat '''q*''' znosi <math> q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}</math>. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima: |
'''Konjugacija''' je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original <math>q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}</math>, konjugat '''''q*''''' znosi <math> q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}</math>. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa [[Kompleksni broj|kompleksnim brojevima]]: |
||
:<math>q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k)~.</math> |
:<math>q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k)~.</math> |
||
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom <math>\frac{1}{2}(p+p^*)</math> dok je vektorski dio jednak <math>\frac{1}{2}(p-p^*)</math>. |
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje [[Skalar|skalarnog]] i [[Vektor|vektorskog]] dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom <math>\frac{1}{2}(p+p^*)</math> dok je vektorski dio jednak <math>\frac{1}{2}(p-p^*)</math>. |
||
==== Modul ili norma ==== |
==== Modul ili norma ==== |
||
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se '''modulom''' ili '''normom kvaterniona'''. Modul predstavlja duljinu kvaterniona |
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se '''modulom''' ili '''normom kvaterniona'''. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru: |
||
<math>\|q\| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math> |
<math>\|q\| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math> |
Inačica od 21. veljače 2021. u 02:03
U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju sa i, j i k i za koje vrijedi:
Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.
Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:
Skup kvaterniona se označava sa u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.
Definicija
U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.
Kvaternion , sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion ).
Prostorne matematičke operacije
Konjugacija
Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original , konjugat q* znosi . Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima:
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom dok je vektorski dio jednak .
Modul ili norma
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:
Jedinični kvaternion
Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:
Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: .
Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme: