Fibonaccijev broj: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 6. travnja 2021. u 10:39

Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:

F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ako je }}n=0;\\1&{\mbox{ako je }}n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2}\!\,&{\mbox{ako je }}n>1.\\\end{cases}}

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, $2+3$ dat će $5$ , $3+5$ dat će $8$ , itd.

Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao $F_{n}$ , za $n=0,1,2,...$ su redom $1,1,2,3,5,8,13,21,...$

Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s $F_{1}=1$ umjesto s $F_{0}=0,$ no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.

Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.^[1]^[2]

Osnovna svojstva

Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je $(F_{n-1},F_{n})=d.$ No, onda je $d|F_{n-1}-F{n}=F_{n-2}.$ Analogno, $d|F_{n-3},F_{n-4},...,F_{1}=1$ što povlači $d=1.$

Vrijedi $F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[{({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}^{n}-{({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})}^{n}].$ Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.

Vrijedi $F_{n-1}F_{n}=F_{n+1}^{2}+(-1)^{n}.$ Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.

Povezanost sa zlatnim rezom

Ako imamo dvije dužine, jednu dužu i jednu kraću te ako je omjer duljina duže na prema kraćoj dužini jednak zlatnom rezu ( $\approx 1.618$ ), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini duže.

Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja, $F_{n-1},F_{n},F_{n+1}.$ Naime, iz Cassinijevog identiteta dijeljenjem obje strane s $F_{n-1}F_{n},$ slijedi ${\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}+{\frac {(-1)^{n}}{F_{n-1}F_{n}}}.$

Kada $n\rightarrow \infty$ možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo ${\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.

Varijacije Fibonaccijevog niza

Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti $F_{1}=F_{2}=1$ kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet, $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.

Uočimo da je neki takav niz $a_{(F_{1},F_{2})}$ zadan ako su zadani $F_{1},F_{2}\in \mathbb {N} .$

No, dakako da $F_{1},F_{2}$ mogu biti negativni. Uočimo da će $F_{n}\rightarrow -\infty$ kada $n\rightarrow \infty$ samo ako je $F_{1},F_{2}<0$ ili bez smanjenja općenitosti (možemo permutirati $F_{1},F_{2}$ ) kada je $|F_{1}|>|F_{2}|,F_{1}<0,F_{2}>0.$

Primjeri

Ovdje su primjeri takvih nizova: $a_{(5,5)}=5,5,10,15,35,...$ , $a_{(3,8)}=3,8,11,19,...$ , no možemo formirati niz za koji vrijedi $F_{1}>F_{2}$ kao npr. $a_{(4,2)}=4,2,6,8,...$

Lucasovi brojevi

Za $F_{1}=2,F_{2}=1$ dobivamo niz tzv. Lucasovih brojeva nazvanih po francuskom matematičaru Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).

Evo prvih nekoliko članova tog niza: $2,1,3,4,7,11,...$

Trojke generaliziranog Fibonaccijevog niza

Tri utastopna člana $F_{n},F_{n+1},F_{n+2}$ Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za $n\in \{2,3,...\}$ vrijedi $F_{n}<F_{n+1}<F_{n+2}.$ (Za $n=1$ sustav nejednakosti $F_{n}<F_{n+1}<F_{n+2}$ ipak ne vrijedi ako niz počinje s $F_{2}\leq F_{1}.$ )

Dakle, intuitivno je da vrijedi $F_{n}F_{n+2}\approx F_{n+1}F_{n+1}.$ Zapravo, ispravno je $F_{n}F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+1}+(-1)^{n+1}$ prema Cassinijevom identitetu. Označimo sada s $D=F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}F_{n+1}.$

Pretpostavimo sada da su $F_{1}\leq F_{2}$ dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.

Hoće li umnožak prvog i trećeg člana, $F_{n}\cdot F_{n+2}$ , neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana, $F_{n+1}$ , te trojke isključivo ovisi o razlici $d$ prvog i drugog člana tog niza, $d=F_{2}-F_{1}$ .

Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza: $F_{1}=x,F_{2}=x+d,F_{3}=2x+d,F_{4}=3x+2d,...$

Slučaj 1., $F_{1}=F_{2}$

Ovdje će vrijediti $F_{n}F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+1}+(-1)^{n}F^{2},$ tj. vrijedit će $D=F^{2}$ ako je $n$ paran, odnosno $D=-d^{2}$ ako je neparan. (1)

Dokaz. Uočimo da je $d=0.$ Ispišimo nekoliko članova ovog niza: $x,x,x+x,(x+x)+x,...=x,x,2x,3x,...$ Za prvu trojku $T_{1}=(x,x,x+x)$ vrijedi (1) jer je $D=(x+x)x-xx=xx=x^{2}=F^{2}.$ Za sljedeću trojku $T_{2}=(x,2x,3x)$ računamo $D=((x+x)+x)x-(x+x)(x+x),$ odakle je $D=-xx=-F^{2}.$ Slično se provjeri za $T_{3}=(2x,3x,5x)$ pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.

Dakle, vrijedit će $D(T_{1})=F^{2},D(T_{2})=-F^{2},D(T_{3})=F^{2},...$

Slučaj 2., $F_{1}<F_{2}$

Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi $D=F_{1}^{2}-(F_{1}+d)d.$ Odavde vidimo da ako je $d<F_{1}$ će biti $D(T_{2k-1})>0,D(T_{2k})<0$ za $k\in \mathbb {N}$ , a ako je $d>F_{1}$ vrijedit će obratno.

Fibonnacijev niz u prirodi

Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi, $\varphi$ ), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, $2,3,5,8,$ te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi: ${\frac {3}{2}}=1,{\frac {5}{3}}=1.67,{\frac {8}{5}}=1.6,$ itd. Broj $1,618$ je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Izvori

↑ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
↑ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985

Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

[1] Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]

[2] Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985

[1]

[2]

@@ Redak 30: / Redak 30: @@
 Ako imamo dvije [[Dužina|dužine]], jednu dužu i jednu kraću te ako je [[omjer]] duljina duže na prema kraćoj dužini jednak [[Zlatni rez|zlatnom rezu]] (<math> \approx 1.618 </math>), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini duže.
-Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja,  <math> F_{n - 1}, F_n, F_{n + 1}. </math> Naime, iz Cassinijevog identiteta [[dijeljenje|dijeljenjem]] obje strane s <math> F_{n - 1}F_n, </math> slijedi <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} + \frac{(- 1)^n}{F_{n - 1}F_n}. </math>
+Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja,  <math> F_{n - 1}, F_n, F_{n + 1}. </math> Naime, iz [[Cassinijev identitet|Cassinijevog identiteta]] [[dijeljenje|dijeljenjem]] obje strane s <math> F_{n - 1}F_n, </math> slijedi <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} + \frac{(- 1)^n}{F_{n - 1}F_n}. </math>
 Kada <math> n \rightarrow \infty </math> možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} </math> što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.