Limes (matematika): razlika između inačica

Izvor: Wikipedija
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m RpA: WP:NI, WP:HRV
 
Redak 2: Redak 2:


== Limes niza ==
== Limes niza ==
Neka je <math>(a_n)</math> [[niz]] realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju ''L'' (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n> n_0 \Rightarrow |a_n - L|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju ''L''. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su <math> a_n </math> i <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz <math> z_n </math> konvergira k <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math> (što je lako pokazati).
Neka je <math>(a_n)</math> [[niz]] realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju ''L'' (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N}, n> n_0 \Rightarrow |a_n - L|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju ''L''. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su <math> a_n </math> i <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz <math> z_n </math> konvergira k <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math> (što je lako pokazati).


Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Redak 31: Redak 31:


Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u <math>c\in I </math> ako vrijedi
Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u <math>c\in I </math> ako vrijedi
<math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I , 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) </math>
<math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I, 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) </math>


[[Kategorija:Matematička analiza]]
[[Kategorija:Matematička analiza]]

Posljednja izmjena od 31. prosinca 2021. u 21:57

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza[uredi | uredi kôd]

Neka je niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi . Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz možemo pisati kao , gdje su i realni nizovi. Ako niz konvergira k , onda vrijedi da je i isto za niz (što je lako pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove takve da i vrijedi:

Limes funkcija[uredi | uredi kôd]

x
1 0,841471...
0,1 0,998334...
0,01 0,999983...

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana za vrijednost nula, kako se x približava nuli, funkcija (sin x)/x poprima vrijednost sve bližu 1. Drugim riječima, limes funkcije (sin x)/x kada x teži nuli jednak je 1.

Neka je , , i funkcija. Kažemo da ƒ ima limes u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi što pišemo . To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo je li c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je . Kažemo da ƒ ima limes u ako vrijedi