Nejednadžba

Izvor: Wikipedija

Nejednadžba je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.

Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar Thomas Harriot (1560.2. srpnja 1621.).

Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti x koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa ili .

Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba

u nejednadžbu

.

Za razliku od rješenja jednadžbe, x = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti

,

Skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi sadržavat će sve realne brojeve od 5 do gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadana kao

tada bi skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.

Pravila rješavanja nejednadžbi[uredi | uredi kôd]

Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:

1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.

2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).

3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka

te nešto specifično za nejednadžbu

4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:

Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom[uredi | uredi kôd]

Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva x koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:

Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti x rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:

rješenje prve nejednadžbe: x > -6, odn. interval ,

rješenje druge nejednadžbe: x > -3, odn. interval ,

rješenje treće nejednadžbe: x > 2, odn. interval .

Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, x > 2 jer interval vrijednosti x udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.

Nejednadžbe složenijih oblika[uredi | uredi kôd]

Nejednadžba kao produkt binomnih članova[uredi | uredi kôd]

Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost x rješenja nejednadžbi. Primjer:

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:

a) i

b) i .

Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:

i
i .

Kako bi skup rješenja x nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je x > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je x < -1. Skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva

.

Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova[uredi | uredi kôd]

Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (x2 + 2) za realne x uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (x + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za x> -2. Skup vrijednosti rješenja x nejednadžbe bit će interval realnih brojeva .

Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova[uredi | uredi kôd]

Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:

Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao funkciju

.

Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nultočke u točkama: x = -1 i x = 2, a polove u točkama x = -2 i x = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku

Kako je limes funkcije pozitivan kada x teži u i kada teži u , funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki x biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako x poprima vrijednosti od prema ,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:

a)pozitivnu vrijednost u intervalu x od x = do prvog pola u x = -2,

b)negativnu vrijednost od prvog pola x = -2 do prve nultočke x = -1,

c)pozitivnu vrijednost od prve nultočke x = -1 do druge nultočke x = 2,

d)negativnu vrijednost od druge nultočke x = 2 do drugog pola u x = 3 te opet

e)pozitivnu vrijednost od x = 3 do x = .

Skup rješenja x nejednadžbe očito je iz unija intervala

Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.

Vidi[uredi | uredi kôd]

Literatura[uredi | uredi kôd]

  • Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.