Riemannova zeta-funkcija

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravnini
Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1

U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prostih brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerojatnosti, i primjenjenoj statistici.

Motivacija[uredi VE | uredi]

Prvi korak ka Riemannovoj zeta-funkciji bilo je rješenje Baselskog problema, koje je 1735. postigao Leonhard Euler. To je bila suma reda

.

Koristeći tehnike množenja i faktorizacije konačnih polinoma na beskonačnim polinomima[1] i povlačeći paralelu s Taylorovim redom funkcije sinus, Euler je izveo ζ(2), a ubrzo je svojom tehnikom došao i do izvoda vrijednosti zeta-funkcije i za sve veće parne brojeve.[2] Funkcija je kasnije proširena na sve kompleksne brojeve čiji je realni dio veći od 1.

Riemann je prvi detaljno istražio svojstva funkcije, povezao ju s prostim brojevima te dao tzv. Riemannovu hipotezu, pa se stoga funkcija i naziva po njemu.

Definicija[uredi VE | uredi]

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala sljedećom beskonačnom sumom:

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prostih brojeva:

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

; (harmonijski red)
; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.
; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.
; tzv. Apéryjeva konstanta

Poznato je da zeta-funkcija ima nultočke -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nultočke imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

Vidi još[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Ova metoda nije rigorozna i može proizvesti kontradikcije, no u ovom slučaju je dala točan rezultat. Euler je 1741. rigorozno dokazao svoj rezultat.
  2. +plus magazine An infinite series of surprises, objavljeno 1. prosinca 2001., pristupljeno 1. listopada 2020. (engl.)

Literatura[uredi VE | uredi]

  • Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.
  • Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464. (Globally convergent series expression.)
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Vanjske poveznice[uredi VE | uredi]