Rođendanski problem

Rođendanski problem je vrsta problema u teoriji vjerojatnosti. Naziva ga se također rođendanskim paradoksom, premda to nije paradoks u pravom smislu. Paradoksom ga se naziva jer se suprotstavlja prirodnoj intuiciji i unatoč tome što ne dovodi do logičke kontradikcije.^[1]

Problem

Traži se vjerojatnost da u nasumično odabranoj skupini od $n$ ljudi barem dvjema je osobama rođendan istoga dana u godini (iz izračuna izbacujemo prijestupnu godinu, odnosno nadnevak 29. veljače). Po Dirichletovom principu, vjerojatnost događaja je 100 % ako se u sobi nalaze 366 osoba. Vjerojatnost ne raste pravocrtno s brojem osoba, nego rastućom krivuljom, pa u sobi od tek 70-ero ljudi, što je potencijalno manje od petine svih mogućih rođendana, kojih ima 365, vjerojatnost već iznosi približno 99.9 %, a kod 23 osobe, što je manje od desetine, vjerojatnost je već nešto veća od 50 %.^[1]

Izračun

Umjesto računanja vjerojatnosti da u sobi od $n$ ljudi barem dvoje imaju isti datum rođenja, možemo izračunati komplementarnu vjerojatnost, odnosno vjerojatnost da nikoja dva čovjeka ne dijele datum rođenja. Uzmimo slučaj kada je $n=4$ , odnosno osobe A, B , C i D. Vjerojatnost da osoba B ne dijeli rođendan s osobom A iznosi $P(B)={\frac {364}{365}}$ (osoba A može imati bilo koji rođendan, neovisno o drugima, pa je $P(A)=1$ ). Vjerojatnost da osoba C ne dijeli rođendan s osobom A niti s osobom B iznosi $P(C)={\frac {363}{365}}$ . Slično, vjerojatnost da osoba D ne dijeli rođendan s osobom A niti s osobom B niti s osobom C iznosi $P(D)={\frac {362}{365}}$

Konačno, vjerojatnost da od osoba A, B, C i D nikoje dvije ne dijele rođendan jest umnožak četiriju navedenih vjerojatnosti i iznosi $P=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\cdot P(D)=1\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}{\frac {362}{365}}\approx 0.9836$ . Dakle, vjerojatnost da u sobi od četiri osobe barem dvije dijele rođendan jest $1-P=0.0164=1.64\%$ . Analognim se računom moglo dobiti da je vjerojatnost u slučaju dviju osoba (za $n=2$ ) približno jednaka 0.27 %, a da za tri osobe ona približno iznosi 0.82 %. Za pet bi se pak osoba dobila vjerojatnost od oko 2.7 %, za šest približno 4.05 % itd. Vjerojatnost očito raste s brojem ljudi i to, kako vidimo, poprilično brzo.

Za $n=23$ dobije se $P\approx 0.5073=50.73\%$ . Prema tome, u sobi od 23 osoba vjerojatnije je da dvije osobe imaju isti rođendan nego da nikoje dvije ne dijele rođendan i to je rješenje problema.

Zanimljivosti

Iz problema rođendana je proizašao rođendanski napad.^[1]

Vidi

Izvori

1 2 3 Portal hrvatskih znanstvenih i stručnih časopisa - Hrčak Josipa Matotek, Ivanka Stipančić-Klaić / Rođendanski paradoks / Poučak, 18 (2017), 70

[Matotek,_Stipančić-Klaić-1] 1 2 3 Portal hrvatskih znanstvenih i stručnih časopisa - Hrčak Josipa Matotek, Ivanka Stipančić-Klaić / Rođendanski paradoks / Poučak, 18 (2017), 70

[1]