Trokut

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Pravokutni trokut
Disambig.svg Ovo je glavno značenje pojma Trokut. Za druga značenja, pogledajte Trokut (razdvojba).

Trokut je geometrijski lik koji ima 3 stranice, 3 kuta i 3 vrha.

Jednakokračan trokut

Vrste[uredi VE | uredi]

Trokute prema vrsti kutova dijelimo na: pravokutne, šiljastokutne i tupokutne.

  • Šiljastokutan trokut ima sve kutove šiljaste.
  • Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.

Trokuti se dijele i prema vrstama stranica: raznostranični, jednakostranični te jednakokračni.

  • Raznostraničan trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih duljina.
  • Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite duljine od duljine kraka.

Svojstva[uredi VE | uredi]

Opseg, tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:

  • za jednakostranični trokut: 3a, gdje je a duljina stranice;
  • za jednakokračni trokut: 2a + b, gdje je a duljina kraka, a b duljina osnovice;
  • za raznostranični trokut: a + b + c, gdje su a, b i c duljine pojedinih stranica.

Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:

  • srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta,
  • visina trokuta je dužina koja je okomita iz bilo kojeg vrha na njemu suprotnu stranicu.

Površina[uredi VE | uredi]

Površina P se tada računa kao:

P=\frac{a v_a}{2}

gdje je a stranica, a va visina nad tom stranicom.

Površinu P tako možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):

P=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
P=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
P=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
P=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
P=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.

gdje je s poluopseg trokuta; s = (a + b + c) / 2.

Za površinu trokuta P vrijede i formule:

P = s \cdot r
P = \frac{abc}{4R}

gdje je R duljina polumjera trokutu opisane kružnice.

Površina pravokutnog trokuta[uredi VE | uredi]

Površina pravokutnog trokuta se računa prema formuli:

P=\frac{a\cdot b}{2}

U ovoj formuli, a i b su katete pravokutnog trokuta, odnosno stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut. Formula se izvodi iz činjenice da stranice pravokutnika s jednom dijagonalom pravokutnika čine pravokutan trokut, gdje su stranice pravokutnika katete pravokutnog trokuta, a dijagonala pravokutnika hipotenuza pravokutnog trokuta. Na taj način od jednog pravokutnika dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta, pa je i površina dobivenog trokuta dva puta manja od površine pravokutnika, koja iznosi ab.

Kutovi[uredi VE | uredi]

Svojstvo kutova trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji kut. Zahvaljujući tom svojstvu možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i sve jednake kutove 60°, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut, a kod raznostraničnog trokuta imamo tri različita kuta. Zbroj sva tri unutarnja kuta u trokutu uvijek iznosi α + β + γ = 180°. Zahvaljujući ovom svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice: Ako je: α=60°, β=80°, γ=? Primjećujemo da se u zadatku traži treći kut, tj. γ. Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojstvo kutova, pa ćemo dobiti: α + β + γ = 180°, iz čega uvrštavanjem proizlazi: 60° + 80° + γ = 180°. Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz toga slijedi: γ = 180° - 60° - 80°, a odatle slijedi da je γ = 40°.

Zbroj sva tri vanjska kuta u trokutu uvijek iznosi α1 + β1 + γ1 = 180°. Prema pravilu zbroja kutova u trokutu vrijedi α1 = β + γ, β1 = α + γ, te γ1 = α + β.

Težišnica trokuta (narančasto), ortocentar (plavo), središte trokutu opisane kružnice (zeleno) te Eulerov pravac (crveno)

Karakteristične točke i pravci trokuta[uredi VE | uredi]

Težišnica trokuta spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice. Tri težišnice sijeku se u točki koja se naziva težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1, mjereći od vrha trokuta.[1]

Ortocentar je sjecište visina trokuta.

Središte trokutu upisane kružnice sjecište je simetrala unutarnjih kutova trokuta. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjega kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u središtu trokutu pripisane kružnice.[1]

Središte trokutu opisane kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Ako je trokut šiljastokutan, ono se nalazi unutar trokuta. Ako je trokut pravokutan, ono se nalazi na polovištu hipotenuze. Ako pak je trokut tupokutan, ono se nalazi izvan trokuta.

Eulerov pravac je pravac na kojemu leže tri središta trokuta: težište, središte opisane kružnice i ortocentar. Jednoznačno je određen za svaki trokut osim jednakostraničnoga. Jednoznačno je određen za svaki trokut osim jednakostraničnoga.[1] Središte trokutu upisane kružnice nikad ne leži na Eulerovom pravcu, osim ako je trokut jednakokračan.[2]

Sukladnost[uredi VE | uredi]

Dva ili više trokuta mogu biti sukladni. Ukoliko se iz jednog trokuta translacijom, rotacijom i refleksijom može dobiti drugi, oni su sukladni.

Sukladnost (jednakost) se dokazuje poučcima o sukladnosti:

  • S-S-S, tj. stranica — stranica — stranica. Trokuti su, po tom poučku, sukladni ako se podudaraju u tri stranice, tj. ako imaju tri jednake stranice.
  • K-S-K, tj. kut — stranica — kut.
  • S-K-S, tj. stranica — kut — stranica.
  • S-S-K, tj. stranica — stranica — kut nasuprot većoj stranici.

Sličnost[uredi VE | uredi]

Dva ili više trokuta mogu biti slični. Slični trokuti imaju jednake kuteve te im se sve stranice odnose u istom omjeru:

a_1 : a'_1 = a_2 : a'_2 = a_3 : a'_3 = k

Površine im se odnose kao:

P : P ' = k^2

Ako su dva trokuta slična, tada se iz jednoga translacijom, rotacijom, refleksijom i skaliranjem može dobiti drugi.

Poučci o sličnosti trokuta[uredi VE | uredi]

Sličnost se dokazuje poučcima o sličnosti:

  • S-S-S, tj. stranica — stranica — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se sve odgovarajuće stranice odnose u istom omjeru.
  • S-K-S, tj. stranica — kut — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se jedan par odgovarajućih stranica odnosi u istom omjeru, te im je kut između tih stranica jednak.
  • K-K, tj. kut — kut. Prema tom poučku, trokuti su slični ukoliko imaju jedan par jednakih kuteva.

Vidi još[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]


P math.png Nedovršeni članak Trokut koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.