Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza

Neka je $(a_{n})$ niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz $(a_{n})$ konvergira broju L( realnan ili kompleksnan broj) ako vrijedi $(\forall \epsilon >0(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-L|<\epsilon )$. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleskne nizove jer vrijedi da kompeksan niz $(z_{n})$ možemo pisati kao $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$, gdje su $a_{n}$ i $b_{n}$ realni nizovi. Ako niz $z_{n}$ konvergira k $z=a+ib$, onda vrijedi da je $\lim _{n}a_{n}=a$ i isto za niz $b_{n}$(što je lagano za pokazati).
Ako niz realnih brojeva nije konvergiran kažemo da je divergiran.
Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove $(a_{n}),(b_{n})\subseteq \mathbb {R}$ takve da $\lim _{n}a_{n}=A,\lim _{n}b_{n}=B$ i $c\in \mathbb {R}$ vrijedi:

• $\lim _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B$
• $\lim _{n}(c\cdot a_{n})=c\cdot A$
• $\lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
• $B\neq 0\Rightarrow \lim _{n}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}$
• $|\lim _{n}a_{n}|=\lim _{n}|a_{n}|$

Limes funkcija

Neka je $\emptyset \neq I\subseteq \mathbb {R}$, $c\in \langle a,b\rangle$,$\langle a,b\rangle \setminus \{c\}\subseteq I$ i $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ fukncija. Kažemo da f ima limes $L\in \mathbb {R}$ u točki c ili da f konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi $((a_{n})\subseteq \langle a,b\rangle \setminus \{c\},\lim _{n}a_{n}=c\Rightarrow \lim _{n}f(a_{n})=L$ što pišemo $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$. To možemo izreči na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c,a nije baš c(jer mi ne znamo jer c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.
Postji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalnetna definiciji preko niza. Pa neka je $f:I\rightarrow \mathbb {R} ,I\subseteq \mathbb {R}$. Kažemo da f ima limes $L\in \mathbb {R}$ u $c\in I$ ako vrijedi $(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in I,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )$