Niz: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 12. kolovoza 2007. u 11:50

Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom redu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva $\lbrace 1,2,3,...,20\rbrace$ pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju $f:\mathbb {N} \rightarrow S$ zovemo niz nad skupom S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije $f(n)=...$ , označava sa $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ili samo $(a_{n})_{n}$ ili $(a_{n})$ .

Primjeri

Članovi niza zadanog sa $f(n)={\frac {1}{n}}$ izgledaju ovako: $(a_{n})_{1}=1,(a_{n})_{2}={\frac {1}{2}},(a_{n})_{3}={\frac {1}{3}},(a_{n})_{4}={\frac {1}{4}},...$

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

$g(n):\mathbb {N} \rightarrow S$

$g(n):={\begin{cases}n,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ is neparan}}\\0,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ paran}}\end{cases}}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz joj je domena skup $\mathbb {N}$ (kodomena je skup $S=\mathbb {N} _{0}$ ).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: $\lbrace 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...\rbrace$

Važni nizovi

Posebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
+Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom redu, tako da uvijek znamo tko je [[prethodnik]] i [[sljedbenik]] svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
-'''Niz''' je skup brojeva, takav da je svaki član niza pridružen po određenom pravilu.
+Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg).
-<math>1,  \frac{1}{2},  \frac{1}{3},  \frac{1}{4},  ...,  \frac{1}{n},  ...</math>
+To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva <math>\lbrace 1, 2, 3,..., 20\rbrace</math> pridružili po jednog učenika.
+Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
-Gore navedeni skup brojeva je niz čijih je članova brojnik uvijek 1, a nazivnik čine prirodni brojevi. Svaki član niza ima i svoj redni broji (označava koji je po redu određeni član niza), te je npr. <math>\frac{1}{4}</math> četvrti član gornjeg niza te mu pripada redni broj 4. Uočavamo da redni broj člana gornjeg niza određuje kolika će biti vrijednost nazivnika toga člana. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
+Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: [[Funkcija | funkciju]] <math>f: \mathbb{N} \rightarrow S</math> zovemo '''niz''' nad skupom S.
+Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
+Niz se, umjesto uobičajene notacije <math>f(n)=...</math>, označava sa <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ili samo <math>(a_n)_n</math> ili <math>(a_n)</math>.
+== Primjeri ==
+Članovi niza zadanog sa <math>f(n)=\frac{1}{n}</math> izgledaju ovako: <math>(a_n)_1=1,  (a_n)_2=\frac{1}{2},  (a_n)_3=\frac{1}{3},  (a_n)_4=\frac{1}{4},...</math>
+Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje.
+Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
+Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila.
+Primjer za takvu funkciju je:
+<math>g(n):\mathbb{N} \rightarrow S</math>
+<math>g(n) :=
+\begin{cases}
+  n,  & \mbox{ako je }n\mbox{ is neparan} \\
+, & \mbox{ako je }n\mbox{ paran}
+\end{cases}
+</math>
+Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz joj je domena skup <math>\mathbb{N}</math> (kodomena je skup <math>S=\mathbb{N}_0</math>).
+Članovi ovog niza izgledaju ovako: <math>\lbrace 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,... \rbrace</math>
+== Važni nizovi ==
-Opći član niza je funkcija rednog broja (argumenta) tog člana. Npr. opći član gornjeg niza je funkcija <math>f(n)=\frac{1}{n}</math>. Svi članovi niza ne moraju biti određeni jednom funkcijom. Npr. <math>1,0,2,0,3,0,4,0,5,0</math> je konačan niz od 10 članova gdje su parni (kojima pripada parni redni broj) članovi određeni funkcijom <math>f(n)=0</math>, a neparni funkcijom <math>f(n)=\frac{n+1}{2}</math>, gdje je n redni broj člana.
 Posebno su važni [[aritmetički niz i red|aritmetički niz]] i [[geometrijski niz i red|geometrijski niz]].