De Moivreova formula

De Moivreova formula nazvana je po Abrahamu de Moivreu (26. svibanj 1667. – 27. studeni 1754.) francuskom matematičaru i izražava da za bilo koji realni broj x te cjelobrojni n, vrijedi da je

$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,$

Ova formula je važna jer povezuje trigonometrijske funkcije s kompleksnim brojevima. Formula vrijedi i ako je x kompleksna veličina. Razvojem lijeve strane i zatim uspoređujuće realne i imaginarne dijelove pod pretpostavkom da je x realni broj mogu se izvesti izrazi za cos(nx) i sin(nx) izraženi sa cos(x) and sin(x). Štoviše, uz pomoć formule mogu se naći eksplicitni izrazi za n-ti korijen iz jedan, uzimajući u obzir da lijeva strana jednakosti predstavlja ustvari kompleksni broj z tako da je zⁿ = 1.

Izvod

Premda povijesno dokazana ranije, de Moivreova formula može se jednostavno izvesti iz Eulerove formule kako slijedi

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .\,$

i koristeći Eulerovu formulu slijedi da je

$e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx).\,$

Necjelobrojne potencije

Za razliku od Eulerove formule koja je istinita i za necjelobrojni n, de Moivreova formula općenito ne vrijedi za necjelobrojne n, a zbog toga što necjelobrojna potencija kompleksnog broja može imati mnogo različitih vrijednosti. Izvod de Moivreove formule uključuje potenciranje kompleksnog broja na n-tu potenciju, dok Eulerova formula uključuje kompleksnu potenciju pozitivnog realnog broja i ima zato uvijek jedinstven iznos. Na primjer

za x = 0 and n = 1/2 formula daje 1^1/2 = 1

za x = 2π and n = 1/2 formula daje 1^1/2 = −1

Kako su kutovi 0 i 2π jednaki, iz formule nalazimo različite vrijednosti za isti izraz. Vrijednost kvadratnog korijena nije, dakle, jedinstvena. Takva poteškoća se ne pojavljuje ukoliko koristimo Eulerovu formulu

eⁱ⁰ = 1

e^iπ = −1

Dokaz indukcijom (za cjelobrojni n)

Razmatramo tri slučaja.

Za n > 0, razmatramo najjednostavniji slučaj gdje je n = 1 i formula, očito, vrijedi. Pretpostavimo da je formula istinita i za neki cjelobrojni k, što znači da pretpostavljamo da je

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,$

Razmotrimo sada slučaj gdje je n = k + 1

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \mbox{hipotezom indukcije}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right]. &&\qquad \mbox{trigonometrijskim identitetima}. \end{alignat}$

Zaključili smo da je formula istinita za n = k + 1 kada je istinita i za n = k. Slijedeći princip matematičke indukcije slijedi i da je formula istinita i za sve cjelobrojnen≥1.

Kada je n = 0 formula je očito također istinita jer je $\cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1$, i prema definiciji $z^0 = 1$.

Kada je n < 0, razmatramo pozitivni cjelobrojni m tako da je n = −m, odnosno

$\begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right). \end{align}$

Stoga, formula je istinita za sve cjelobrojne vrijednost n.

Generalizacija

Formula je istinita i u općenitijem slučaju, tj. ako su z i w kompleksni brojevi. Tada je

$\left(\cos z + i\sin z\right)^w$

višeznačna funkcija, dok

$\cos (wz) + i \sin (wz)\,$

nije višeznačna funkcija. Zato možemo ustvrditi da je

$\cos (wz) + i \sin (wz) \,$     

jedna vrijednost od

     $\left(\cos z + i\sin z\right)^w.\,$

Primjene

De Moivreova formula se može primijeniti u cilju nalaženja n-tog korijena iz kompleksnog broja. Formula se, istina, ne koristi izravno u njezinu izvornom smislu jer potencija nije cjelobrojna, no može se ustvrditi da ako je $z$ kompleksni broj zadan u polarnim koordinatama kao

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

tada je

$z^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$

gdje je $k$ cijeli broj. Kako bi se našlo $n$ različitih korijena od $z$ moraju se razmatrati različite vrijednosti $k$ i to od $k=0$ do $k=n-1$.