Nejednadžba

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Nejednadžba je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.

Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar Thomas Harriot (1560. – 2. srpnja 1621.).

Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti x koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa \le ili \ge .

Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba

 2x-4 = 6 \,

u nejednadžbu

 2x-4 > 6 \,.

Za razliku od rješenja jednadžbe, x = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti

 x > 5 \,,

Skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi sadržavati će sve realne brojeve od 5 do +\infty gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadata kao

 2x-4 \ge  10 \,

tada bi skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.

Pravila rješavanja nejednadžbi[uredi VE | uredi]

Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:

1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.

2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).

3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka

te nešto specifično za nejednadžbu

4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:

 -x + 3 < 2x + 15 \,
 -x -2x < 15 - 3 \,
 -3x < 12  /(-1) \,
  3x > -12 \,
  x > -4  \,

Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom[uredi VE | uredi]

Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva x koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:

  x + 6  > 0   \,
 -x-1 < 2   \,
  x - 1  > 1   \,

Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti x rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:

rješenje prve nejednadžbe: x > -6, odn. interval \left\langle-6, +\infty \right\rangle ,

rješenje druge nejednadžbe: x > -3, odn. interval \left\langle-3, +\infty \right\rangle ,

rješenje treće nejednadžbe: x > 2, odn. interval \left\langle2, +\infty \right\rangle .

Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, x > 2 jer interval vrijednosti x \left\langle2, +\infty \right\rangle udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.

Nejednadžbe složenijih oblika[uredi VE | uredi]

Nejednadžba kao produkt binomnih članova[uredi VE | uredi]

Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost x rješenja nejednadžbi. Primjer:

 (x+1)(x-3)>0 \,

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:

a)  (x+1)> 0 \, i   (x-3)> 0 \,

b)  (x+1)< 0 \, i   (x-3)< 0 \,.

Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:

 a)  x > -1 \, i  x > 3  \,
 b)  x < -1 \, i  x < 3  \,.

Kako bi skup rješenja x nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je x > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je x < -1. Skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva \left\langle -\infty, -1\right\rangle

\left\langle 3, +\infty \right\rangle .

Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova[uredi VE | uredi]

Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:

 \frac{x^2+2}{x+2} \ge  0

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (x2 + 2) za realne x uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (x + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za x> -2. Skup vrijednosti rješenja x nejednadžbe bit će interval realnih brojeva \left\langle -2, +\infty \right\rangle .

Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova[uredi VE | uredi]

Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:

  \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} > 0

Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao funkciju

  y = \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} .

Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nultočke u točkama: x = -1 i x = 2, a polove u točkama x = -2 i x = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku

  y = \frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6}

Kako je limes funkcije pozitivan kada x teži u -\infty i kada teži u +\infty, funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki x biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako x poprima vrijednosti od -\infty prema +\infty,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:

a)pozitivnu vrijednost u intervalu x od x = -\infty do prvog pola u x = -2,

b)negativnu vrijednost od prvog pola x = -2 do prve nultočke x = -1,

c)pozitivnu vrijednost od prve nultočke x = -1 do druge nultočke x = 2,

d)negativnu vrijednost od druge nultočke x = 2 do drugog pola u x = 3 te opet

e)pozitivnu vrijednost od x = 3 do x = +\infty.

Skup rješenja x nejednadžbe očito je iz unija intervala \left\langle -\infty, -2 \right\rangle \cup \left\langle -1,2 \right\rangle \cup \left\langle 3, +\infty\right\rangle

Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.

Vidi[uredi VE | uredi]

Literatura[uredi VE | uredi]

  • Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.