Bézoutov identitet

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Bézoutov identitet ili Bézoutova lema je jedan od najvažnijih rezultata u elementarnoj teoriji brojeva.

Lema tvrdi: neka su cijeli brojevi i neka je najveći zajedniči djelitelj brojeva Tada postoje takvi da je Uz to, vrijedi

Iako se lema zove po francuskom matematičaru Étienne Bézoutu (1730. – 1783.), ovu je tvrdnju u svom radu iskazao drugi francuski matematičar, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581. – 1638.)

Dokaz[uredi VE | uredi]

Promotrimo skup Uočimo da su Dakle, nije neprazan skup. Prema svojstvu dobre uređenosti prirodnih brojeva postoji najmanji element skupa Prema tome, neka je najmanji član od To znači da ga možemo zapisati kao (1)

Dokaz ćemo da ali i da je Pretpostavimo BSO da Prema teoremu o dijeljenju s ostatkom možemo pisati Dobivamo Koristeći (1) dobivamo što znači . No, što je kontradikcija jer je Dakle, i analogno

Još valja dokazati da je Pretpostavimo da i BSO Dakle vrijedi Znamo da je pa je preko gornjih jednakosti Vidimo da pa je zaista čime je lema dokazana.


Uvjet relativne prostosti

Iz dokaza se vidi da kada je slijedi i obrnuto, kada su relativno prosti mora biti za neke