Bézoutova lema ili Bézoutov identitet je jedan od najvažnijih rezultata u elementarnoj teoriji brojeva. Lema tvrdi:
- Neka su cijeli brojevi i neka je najveća zajednička mjera brojeva Tada postoje takvi da je Uz to, vrijedi [1]
Iako se lema zove po francuskom matematičaru Étienne Bézoutu (1730. – 1783.), ovu je tvrdnju u svom radu ranije iskazao drugi francuski matematičar, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581. – 1638.).
Promotrimo skup Uočimo da su Dakle, nije neprazan skup. Prema svojstvu dobre uređenosti prirodnih brojeva postoji najmanji element skupa Prema tome, neka je najmanji član od To znači da ga možemo zapisati kao
(1)
Dokaz ćemo da ali i da je Pretpostavimo bez smanjenja općenitosti (BSO) da Prema teoremu o dijeljenju s ostatkom možemo pisati Dobivamo Koristeći (1) dobivamo što znači . No, što je kontradikcija jer je Dakle, i analogno
Još valja dokazati da je Pretpostavimo da
i BSO Dakle
vrijedi Znamo da je pa je preko gornjih jednakosti Vidimo da pa je zaista čime je lema dokazana.
Dokaz je moguće zorno pokazati i primjenom Euklidovog algoritma.
Iz dokaza se vidi da kada je slijedi i obrnuto, kada su relativno prosti mora biti
za neke
- ↑ Miljen Mikić, Najveći zajednički djeljitelj i najmanji zajednički višekratnik