Fermi-Diracova statistika

Usporedba prosječne popunjenosti osnovnog stanja za 3 statistike: Maxwell-Boltzmannovu (sivo), Fermi-Diracovu (crveno)i Bose-Einsteinovu (zeleno)

Fermi-Diracova distribucija kao funkcija omjera ε/μ ucrtana za 4 različite temperature

Fermi-Diracova statistika kvantna je statistika koja se primjenjuje na sustave koji se sastoje od mnoštva identičnih čestica koje nisu u interakciji i koje se pokoravaju Paulijevom principu isključenja. Nazvana je po fizičarima Enricu Fermiju i Paulu Diracu.

Raspodjela čestica, odnosno prosječan broj čestica $n_{i}$ u kvantno-energetskom stanju $E_{i}$ opisuje se matematičkom jednadžbom:

$n_{i}={\frac {1}{e^{\frac {\epsilon _{i}-\mu }{k_{b}T}}+1}}$

gdje je $\epsilon _{i}$ – energija $i$-tog stanja, $\mu$ – kemijski potencijal (energija potrebna da se sustavu pridruži dodatna čestica), $k_{\mathrm {B} }$ – Boltzmannova konstanta i $T$ – termodinamička temperatura.

Fermi-Diracova raspodjela približava se Maxwell-Boltzmannovoj raspodjeli u granici visoke temperature i niske gustoće čestica.

Fermi-Diracovu statistiku prvi su put objavili 1926. Enrico Fermi i Paul Dirac. Prema Maxu Bornu, Pascual Jordan razvio je 1925. istu statistiku koju je nazvao Paulijevom statistikom, ali nije objavljena na vrijeme. Prema Diracu, prvi ju je proučavao Fermi, a Dirac ju je nazvao "Fermijeva statistika", a odgovarajuće čestice "fermioni".

Vjerojatno najpoznatiji primjer primjene ove distribucije jest opis vodljivih čestica (kvazielektrona) u metalima, koji je dao Arnold Sommerfeld 1927.

Raspodjela za degenerirana stanja

Očekivani broj čestica koje se nalaze u stanju s energijom $\epsilon _{i}$ dan je kao:

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}$

gdje je:

$n_{i}\$ broj čestica u stanju i

$\epsilon _{i}\$ energija stanja i

$g_{i}\$ je degeneracija stanja i (broj stanja s energijom $\epsilon _{i}\$),

$\mu \$ kemijski potencijal, često nazvan Fermijeva energija $E_{F}\$

$\ k\$ Boltzmannova konstanta

$\ T\$ apsolutna temperatura

U slučaju kada je $\mu$ Fermijeva energija $E_{F}\$ i nema degeneracije, tj. $g_{i}=1\$, funkcija se naziva Fermijeva funkcija:

$F(E)={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-E_{F})/kT}+1}}$

Mnoštvo fermiona među kojima nema interakcija i slijede Fermi-Diracovu statistiku naziva se Fermionski plin.

Povezani članci

• Bose-Einsteinova statistika