Funkcijska jednadžba

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Funkcijska jednadžba, vrsta je jednadžbi gdje se ne traži neka nepoznata veličina, na primjer x, već se traži nepoznata funkcija koja udovoljava nekom traženom uvjetu. Ova vrsta jednadžbi ne može se jednostavno svesti i riješiti kao algebarska jednadžba.

Linearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisne varijable[uredi | uredi kôd]

Kada su različite funkcije u linearnom odnosu, tada govorimo o linearnoj funkcijskoj jednadžbi koja može biti, na primjer, oblika:

Linearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama[uredi | uredi kôd]

Linearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama je na primjer:

čije je opće rješenje funkcija:

ili
  • Cauchyeva logaritamska jednadžba:

čije je opće rješenje

Primjeri[uredi | uredi kôd]

Treba naći sve funkcije takve da vrijedi i za sve .

Rješenje. Uvrštavajući dobije se iz čega slijedi . No, onda mora biti . Sada uvrštavajući dobije se što znači da je .

Kako vrijedi slijedi . Lako je provjeriti da ta funkcija zaista zadovoljava početnu jednadžbu.

Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom[uredi | uredi kôd]

Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom je na primjer:

čije je opće rješenje funkcija

Nelinearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama[uredi | uredi kôd]

Nelinearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama je na primjer: Cauchyeva eksponencijalna jednadžba:

čije je rješenje funkcija:

Primjeri[uredi | uredi kôd]

Treba naći sve takve da vrijedi za sve .

Rješenje. Uvrštavajući dobivamo .

Uvrstimo , dobivamo , odnosno .

Sada možemo u početnu jednadžbu uvrstiti takav da je i onda imamo što povlači . Nije teško provjeriti da to jest rješenje početne jednažbe.

Izvori[uredi | uredi kôd]