Kvadratna nejednadžba

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.

Kvadratna nejednadžba[uredi VE | uredi]

Kvadratna nejednadžba gdje je b=0[uredi VE | uredi]

Kvadratnu nejednadžbu gdje je b=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

iz čega slijedi da je:

Ako su oba člana a i b pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je jedan od članova negativan, nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala: i ,

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

.

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

,

gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala i ,

Kvadratna nejednadžba gdje je c=0[uredi VE | uredi]

Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

što se može prikazati i kao:

.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

i te
i

odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

.

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

i i
i

gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:

.

Kvadratna nejednadžba sa svim članovima[uredi VE | uredi]

Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:

ili

najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

da se odredi graf funkcije:

te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

.

U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:

gdje su rješenja:

.

Razmatrajući funkciju (slika desno):

,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke i grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:

Sve vrijednosti x iz intervala: bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.

Literatura[uredi VE | uredi]

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.