Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4

Pojam efektivne vrijednosti napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona i struje te povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s pojmom rada i snage napona, odn. struje.

Rad i snaga u mehanici

Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao::

$\!W=Fs,\,$

gdje je W rad, F sila, a s put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila F tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:

$\!W=\int _{s=0}^{s=s}F(s)ds,\,$

gdje je sila djelovala na putu od s=0 do s=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom F=F(s). Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:

$\!P={\frac {W}{t}},\,$

gdje je W ukupan rad izvršen u vremenu t, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:

$\!P={\frac {dW}{dt}},\,$

Rad i snaga u elektrostatici

Kako bi se električni naboj +q pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:

$\!W=Fs=Eqs=Uq\,$

gdje je W rad izvršen u električnom polju, F sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, E jakost električnog polja, a U razlika potencijala između točaka na putu s, od U_s=0 do U_s=s.

Rad i snaga istosmjerne električne struje

Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:

$\!W=UIt.\,$

Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja I kroz neki otpornik otpora R tijekom vremena t. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:

$\!P={\frac {W}{t}}=UI={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R.\,$

Rad i snaga izmjeničnog napona i struje

Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora R, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:

$\vartriangle W=ui\vartriangle t={\frac {u^{2}}{R}}\vartriangle t=i^{2}R\vartriangle t,\,$

gdje su u, odn. i neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama u(t), odn. i(t). Međutim, kada:

$\vartriangle \to 0\,$

možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu T jednak:

$\!W=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt=\int _{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt.$

Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje.

Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje

Razmotramo li pravokutni napon amplitude $\pm$ U_m, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

$\!W={\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {U^{2}(t)}{R}}dt,$

${\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {U^{2}(t)}{R}}dt,$

Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\cdotT"): {\displaystyle \begin{align} U^2_eff T& = \int_{t=0}^{t=T} U^2(t)dt \\ & = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\ & = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt \\ & = U_m^2\cdot\frac{T}{2} + U_m^2\cdotT- U_m^2\cdot\frac{T}{2} \\ U^2_eff T & = U_m^2\cdotT /:(T) \\ U^2_eff & = U_m^2\cdot \end{align} }

što znači da je efektivna vrijednost pravokutnog izmjeničnog napona jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje.

Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje

Razmotramo li periodički promjenljiv napon:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\omegat"): {\displaystyle u(t)= U_msin(\omegat) \,}

odn. struju:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\omegat"): {\displaystyle u(t)= I_msin(\omegat) \,}

gdje su U_m, odn. I_m vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:

$\!W={\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,$ odn.

$\!W=I_{e}^{2}ffRT=\int _{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt,$

gdje slično pravokutnom izmjeničnom naponu nalazimo da je:

${\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,$

$I_{e}^{2}ffRT=\int _{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt,$

Pomnožimo li jednakost s R nalazimo za, na primjer izmjenični napon, redom:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} U^2_eff T& = \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 sin^2(\omega t)dt \\ & = \int_{t=0}^{t=T} \frac{1}{2} U_m^2 (1- cos(2\omega t))dt \\ & = \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T}dt- \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} cos(2\omega t)dt \\ & = \frac{T}{2} U_m^2 -\frac{1}{(2\omega t} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} cos(2\omega t)d(2\omega t)dt end{align} }

Kako je, međutim, vrijednost integrala u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom:

${\begin{aligned}U_{e}^{2}ffT&={\frac {T}{2}}U_{m}^{2}/(:T)\\U_{e}^{2}ff&={\frac {1}{2}}U_{m}^{2}\\U_{e}ff&={\frac {1}{\sqrt {2}}}U_{m},\end{aligned}}$

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno:

Obrada nije uspjela. (neispravna sintaksa): {\displaystyle U_eff & = 0,707U_m , \,}

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:

Obrada nije uspjela. (neispravna sintaksa): {\displaystyle I_eff & = 0,707I_m . \,}

gdje je vidljivo da efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona, odn. struje ne ovisi o frekvenciji.

Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje

Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti $\pm$ U_m perioda T, u vremenu od t=0 do t=T izvršen je ukupni rad:

$\!W={\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,$

Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} U^2_eff T& = 2 \int_{t=0}^{t=T/2}( U_m\frac{t}{T} )^2 dt \\ & = 2 \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2 \frac{t^2}{T^2} dt \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \int_{t=0}^{t=T/2} t^2dt \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \frac{t^3}{3} \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \frac{T^3}{3\cdot8} /:T \\ U^2_eff T & = U_m^2 \frac{1}{ T^3} \frac{T^3}{3\cdot8} \\ U^2_eff & = end{align} }

${\begin{aligned}U_{e}^{2}ffT&={\frac {T}{2}}U_{m}^{2}/(:T)\\U_{e}^{2}ff&={\frac {1}{2}}U_{m}^{2}\\U_{e}ff&={\frac {1}{\sqrt {3}}}U_{m},\end{aligned}}$

što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog pilastog napona jednaka približno:

$U_{e}ff=0,707U_{m},\,$

gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:

$I_{e}ff=0,707I_{m}.\,$