Pojam efektivne vrijednosti napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona i struje te povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s pojmom rada i snage napona, odn. struje.
Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao::
![{\displaystyle \!W=Fs,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6c49972cb1a2de9c7f5598a2d26bcc276f4688)
gdje je W rad, F sila, a s put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila F tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:
![{\displaystyle \!W=\int _{s=0}^{s=s}F(s)ds,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb32168e877506190fc206331d2c833a3467a25)
gdje je sila djelovala na putu od s=0 do s=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom F=F(s). Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:
![{\displaystyle \!P={\frac {W}{t}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332f1e8d561149df1ecd09e2f56090c76849c949)
gdje je W ukupan rad izvršen u vremenu t, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:
![{\displaystyle \!P={\frac {dW}{dt}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b0991648ca026a43eb1dca702f09671ee0343c)
Kako bi se električni naboj +q pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:
![{\displaystyle \!W=Fs=Eqs=Uq\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdb74ba89e20ffd7c99220d63394d58c0a0a4ab)
gdje je W rad izvršen u električnom polju, F sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, E jakost električnog polja, a U razlika potencijala između točaka na putu s, od Us=0 do Us=s.
Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:
![{\displaystyle \!W=UIt.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7bfcbd5b48f12e35210e5e4f3230177ec6492b)
Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja I kroz neki otpornik otpora R tijekom vremena t. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:
![{\displaystyle \!P={\frac {W}{t}}=UI={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b74a8603b130278e522cec3a5e7874fdae9cdf3)
Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora R, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:
![{\displaystyle \vartriangle W=ui\vartriangle t={\frac {u^{2}}{R}}\vartriangle t=i^{2}R\vartriangle t,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ffbe7c2fbcf652d9dd794aae272a0b41138bcd)
gdje su u, odn. i neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama u(t), odn. i(t). Međutim, kada:
![{\displaystyle \vartriangle \to 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f6bf98174623de5dad629c7551befa3cc852c5)
možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu T jednak:
![{\displaystyle \!W=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt=\int _{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9c9b025b7f5d57ac9c4cb1c0b12dcaaf902dda)
Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje.
Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje
[uredi | uredi kôd]
Razmotramo li pravokutni napon amplitude
Um, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:
![{\displaystyle \!W={\frac {U_{eff}^{2}}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc3dfe777e085e0da3ebc46ec942088fd06a552)
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{eff}^{2}T&=\int _{t=0}^{t=T}u^{2}(t)dt\\U_{eff}^{2}T&=\int _{t=0}^{t=T/2}U_{m}^{2}dt+\int _{t=T/2}^{t=T}(-U_{m})^{2}(t)dt\\U_{eff}^{2}T&=\int _{t=0}^{t=T/2}U_{m}^{2}dt+\int _{t=T/2}^{t=T}U_{m}^{2}(t)dt\\U_{eff}^{2}T&=U_{m}^{2}{\frac {T}{2}}+U_{m}^{2}T-U_{m}^{2}{\frac {T}{2}}\\U_{eff}^{2}T&=U_{m}^{2}T/(:T)\\U_{eff}^{2}&=U_{m}^{2}/^{(1/2)}\\U_{eff}&=U_{m}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb250a93b1f09f6d016253964f44caa2540e1d6)
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.
Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje
[uredi | uredi kôd]
Razmotramo li periodički promjenljiv napon:
![{\displaystyle u(t)=U_{m}\sin(\omega t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3339c09f36f02f61d2212a417ebcd3cde63ae934)
odn. struju:
![{\displaystyle u(t)=I_{m}\sin(\omega t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d8f22bd43ddf0f5a61b4c36710aab146fc09a4)
gdje su Um, odn. Im vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:
odn.
![{\displaystyle \!W=I_{eff}^{2}RT=\int _{t=0}^{t=T}i^{2}(t)Rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6197e9dd49e4d51bcb3f3489ff61df8e963b5a4)
Načinimo li izvod računa za, na primjer, izmjenični efektivni napon, pomnoživši jednakost s R nalazimo, redom:
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=\int _{t=0}^{t=T}U_{m}^{2}\sin ^{2}(\omega t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b3f1f8b98e005b38bb44482c2024c8538620c2)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=\int _{t=0}^{t=T}U_{m}^{2}{\frac {1}{2}}(1-\cos(2\omega t))dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab263839a346378e10d0d1ca386354f18c050e8f)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T={\frac {1}{2}}U_{m}^{2}\int _{t=0}^{t=T}dt-{\frac {1}{2}}U_{m}^{2}\int _{t=0}^{t=T}\cos(2\omega t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca143c1407165aae1e7669887702e17732c7d2aa)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T={\frac {T}{2}}U_{m}^{2}-{\frac {1}{2\omega }}U_{m}^{2}\int _{t=0}^{t=T}\cos(2\omega t)d(2\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5227e7d80762519a2af8d12921e64bcc90e117ab)
Kako je, međutim, vrijednost integrala cos(2ωt)d(2ωt) u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom:
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{eff}^{2}T&={\frac {T}{2}}U_{m}^{2}/(:T)\\U_{eff}^{2}&={\frac {1}{2}}U_{m}^{2}\\U_{eff}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}U_{m},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad736d1da64e411e2dd871b3fabac36de9abb2aa)
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno:
![{\displaystyle U_{eff}=0,707U_{m},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d3eefcf8c76a9cf59f1a54817c477df0748630)
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:
![{\displaystyle I_{eff}=0,707I_{m}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3986d0b766a32cc29ce63f3272419d5fb9133e)
Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti
Um perioda T, u vremenu od t=0 do t=T izvršen je ukupni rad:
![{\displaystyle \!W={\frac {U_{e}^{2}ff}{R}}T=\int _{t=0}^{t=T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68282529b7cb27ea523ff270fed3029a26ccd504)
Pomnožimo li jednakost s R i uzmemo li u obzir oblik pilastog napona nalazimo, redom:
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=2\int _{t=0}^{t=T/2}{\Bigg (}U_{m}{\frac {t}{\frac {T}{2}}}{\Bigg )}^{2}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeb5252a92947e97b7d7c27a883c5b31240ad0e)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=2\int _{t=0}^{t=T/2}U_{m}^{2}{\frac {4t^{2}}{T^{2}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419afd0faa2f97016ce80fdb8276ee8eb8a44b92)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=8{\frac {U_{m}^{2}}{T^{2}}}\int _{t=0}^{t=T/2}t^{2}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c076cf7cd7e9c8ccb291eebc858cb3807531547f)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=8{\frac {U_{m}^{2}}{T^{2}}}\left.{\frac {t^{3}}{3}}\right\vert _{t=0}^{t=T/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f76ec02268342bf30ee985747b717e635d9e40)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}T=8{\frac {U_{m}^{2}}{T^{2}}}{\frac {T^{3}}{3\cdot 8}}/:T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb3da2cfc4350a17bebb4842eac755905ab7e21)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}={\frac {U_{m}^{2}}{T^{3}}}{\frac {T^{3}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ba97856702ac1210339ad6041a065510af17db)
![{\displaystyle U_{eff}^{2}={\frac {U_{m}^{2}}{3}}/(^{1/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a2c5a3095935940d8a6d1e891db6126cb61bd5)
![{\displaystyle U_{eff}={\frac {U_{m}}{\sqrt {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2678417daaee17c25ad2c4257d18e4b2ebd3f58a)
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pilastog oblika jednaka približno:
![{\displaystyle U_{eff}=0,577U_{m},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b964e65a1fa4555f8f8fd4ee0e83e1a328ba5e)
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične struje pilastog oblika jednaka približno:
![{\displaystyle I_{eff}=0,577I_{m}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc273c09e5df0ee72fcce8cfd299614bafd53e3)