Limes (matematika): razlika između inačica
Nema sažetka uređivanja |
poveznice, kat, iw |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi. |
'''Limes''' je jedan od osnovnih pojmova u [[matematička analiza|matematičkoj analizi]]. |
||
== Limes niza == |
== Limes niza == |
||
⚫ | Neka je <math>(a_n)</math> [[niz]] realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju ''L'' (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n> n_0 \Rightarrow |a_n - L|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju ''L''. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su <math> a_n </math> i <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz <math> z_n </math> konvergira k <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math> (što je lagano za pokazati). |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Neka je <math>(a_n)</math> niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju L |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Limes funkcija == |
== Limes funkcija == |
||
Neka je <math>\emptyset \neq I \subseteq \mathbb{R} </math>, <math> c\in \langle a,b \rangle </math>,<math>\langle a,b \rangle \setminus \{c\} \subseteq I </math> i <math> f: I \rightarrow \mathbb{R} </math> funkcija. Kažemo da |
Neka je <math>\emptyset \neq I \subseteq \mathbb{R} </math>, <math> c\in \langle a,b \rangle </math>,<math>\langle a,b \rangle \setminus \{c\} \subseteq I </math> i <math> f: I \rightarrow \mathbb{R} </math> [[funkcija (matematika)|funkcija]]. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u točki ''c'' ili da ƒ konvergira prema ''L'' kada ''x'' teži prema ''c'' ako vrijedi <math> ((a_n) \subseteq \langle a,b \rangle \setminus \{c\}, \lim_n a_n =c \Rightarrow \lim_n f(a_n)=L </math> što pišemo <math> \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L </math>. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini ''c'' i teži k ''c'', a nije baš ''c'' (jer mi ne znamo jeli ''c'' u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema ''L''. |
||
Postji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da |
Postji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da ƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u <math>c\in I </math> ako vrijedi |
||
<math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I , 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) </math |
<math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I , 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) </math> |
||
[[Kategorija:Matematička analiza]] |
|||
{{Link FA|lmo}} |
|||
[[ar:نهاية رياضية]] |
|||
[[bs:Granična vrijednost]] |
|||
[[bg:Граница (математика)]] |
|||
[[ca:Límit]] |
|||
[[cs:Limita]] |
|||
[[da:Grænseværdi (matematik)]] |
|||
[[el:Όριο (μαθηματικά)]] |
|||
[[es:Límite matemático]] |
|||
[[eo:Limeso]] |
|||
[[eu:Limite]] |
|||
[[fa:حد (ریاضی)]] |
|||
[[fr:Limite (mathématiques)]] |
|||
[[gan:極限]] |
|||
[[gl:Límite matemático]] |
|||
[[ko:극한]] |
|||
[[hi:सीमा (गणित)]] |
|||
[[io:Limito]] |
|||
[[id:Limit]] |
|||
[[is:Markgildi]] |
|||
[[it:Limite (matematica)]] |
|||
[[he:גבול (מתמטיקה)]] |
|||
[[lt:Riba (matematika)]] |
|||
[[lmo:Límit (matemàtega)]] |
|||
[[hu:Határérték]] |
|||
[[ms:Had (matematik)]] |
|||
[[nl:Limiet]] |
|||
[[ja:極限]] |
|||
[[no:Grenseverdi]] |
|||
[[km:លីមីត]] |
|||
[[pl:Granica (matematyka)]] |
|||
[[pt:Limite]] |
|||
[[ro:Limită (matematică)]] |
|||
[[ru:Предел (математика)]] |
|||
[[sq:Limiti]] |
|||
[[sk:Limita]] |
|||
[[sr:Гранична вредност]] |
|||
[[fi:Raja-arvo]] |
|||
[[sv:Gränsvärde]] |
|||
[[tr:Limit]] |
|||
[[uk:Границя]] |
|||
[[ur:حد (ریاضی)]] |
|||
[[zh:极限 (数学)]] |
Inačica od 16. rujna 2010. u 07:31
Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.
Limes niza
Neka je niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi . Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz možemo pisati kao , gdje su i realni nizovi. Ako niz konvergira k , onda vrijedi da je i isto za niz (što je lagano za pokazati).
Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove takve da i vrijedi:
Limes funkcija
Neka je , , i funkcija. Kažemo da ƒ ima limes u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi što pišemo . To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo jeli c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.
Postji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je . Kažemo da ƒ ima limes u ako vrijedi