Funkcija (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija[uredi VE | uredi]

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka koja sadrži skupove , i neko pravilo po kojem se svakom članu pridružuje jedinstveni član tako da je .

Skup se naziva područje definicije ili domena funkcije , a skup područje vrijednosti ili kodomena funkcije . Član domene je nezavisna varijabla ili argument funkcije , a član kodomene je zavisna varijabla funkcije .

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo .

Jednakost funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcije i su jednake, što zapisujemo sa , ako vrijedi:

  1. imaju jednake domene, tj. ;
  2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. .

Na primjer, funkcije i nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, budući da, kada se kod skrati razlomak, dobijemo .
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija nema vrijednost za . Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena , skup realnih brojeva bez nule. Domena , čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo,
ili ekvivalentnu tvrdnju .

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s .

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni .
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis: . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija definirana s .

Graf funkcije[uredi VE | uredi]

Graf funkcije

Graf funkcije jest skup točaka ravnine za koje vrijedi te čine krivulju. Formalnije, to je skup .

Vidi još[uredi VE | uredi]