Cijeli broj: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 12. prosinca 2017. u 08:11

Uvod u cijele brojeve

Skup prirodnih brojeva $\mathbb {N}$ ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element $n\in \mathbb {N}$ ne postoji njemu inverzan element $n^{-1}\in \mathbb {N}$ , niti jediničan element grupe. Da bismo odredili svaku razliku $a-b$ , $a,b\in \mathbb {N}$ koju definiramo sa $a+(-b)$ , gdje je sa $-b$ označen inverzni element od $b\in \mathbb {N}$ , proširujemo skup $\mathbb {N}$ s tim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element te grupe. U takvom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva $\mathbb {Z}$ je upravo:

$\mathbb {Z} =\{...,-2,-1\}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} =\{0,-1,1,-2,2,...\}$

Element 0 sa svojstvom da je $a+0=0+a=a,\forall a\in \mathbb {N}$ nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima. Vrijedi $a+(-a)=(-a)+a=0,\forall a\in \mathbb {N}$ , iz čega lako slijedi da je skup $\mathbb {Z}$ aditivna Abelova grupa.

Skup cijelih brojeva $\mathbb {Z}$ čini također i komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da $0\cdot x=a$ nema rješenje u samom i niti jednom prstenu. Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. Nema najvećeg niti najmanjeg elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa $\mathbb {N}$ u $\mathbb {Z}$ ).

Literatura

Za uvod u cijele brojeve može se pogledati bilo koji odobreni gimnazijski udžbenik iz matematike, kao npr. Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996. Za precizne definicije algebarskih struktura, između ostalog, grupe, prstena, tijela i polja, mogu se pogledati uvodne stranice u djelo Svetozar Kurepa: Konačno dimanzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967.

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
+== Uvod u cijele brojeve ==
-Skup prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1}</math>, niti jediničan element grupe. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math>, <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> s tim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element grupe. U takvoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo:
+Skup prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>, niti jediničan element grupe. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math>, <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> s tim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element te grupe. U takvom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo:
 <math>\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1 \} \cup \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0, -1, 1, -2, 2, ... \}</math>
-Element sa svojstvom da je <math>a + 0 = 0 + a = a, \forall a</math> nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva nazivamo suprotnim elementima. Vrijedi <math>a + (-a) = (-a) + a = 0, \forall a</math>, iz čega lako slijedi da je skup <math>\mathbb{Z}</math> aditivna Abelova grupa.
+Element 0 sa svojstvom da je <math>a + 0 = 0 + a = a, \forall a \in \mathbb{N}</math> nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima. Vrijedi <math>a + (-a) = (-a) + a = 0, \forall a \in \mathbb{N}</math>, iz čega lako slijedi da je skup <math>\mathbb{Z}</math> aditivna Abelova grupa.
+Skup cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math> čini također i komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da <math>0 \cdot x = a</math> nema rješenje u samom i niti jednom prstenu. Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. Nema najvećeg niti najmanjeg elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa <math>\mathbb{N}</math> u <math>\mathbb{Z}</math>).
+== Literatura ==
+Za uvod u cijele brojeve može se pogledati bilo koji odobreni gimnazijski udžbenik iz matematike, kao npr. Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: ''Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 1996. Za precizne definicije algebarskih struktura, između ostalog, grupe, prstena, tijela i polja, mogu se pogledati uvodne stranice u djelo Svetozar Kurepa: ''Konačno dimanzionalni vektorski prostori i primjene'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1967.
-Skup cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math> čini komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da <math>0 \cdot a = x</math> nema rješenje u samom prstenu. Skup cijelih brojeva je uređen skup, kao i skup prirodnih brojeva. Nema najvećeg ni najmanjeg elementa i ekvipotentan skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa <math>\mathbb{N}</math> u <math>\mathbb{Z}</math>).
 [[Kategorija:Brojevi]]