Uvećanje leće

Uvećanje slike se može ostvariti povećalom.

Skica uz jednadžbu optičke leće.

Konstrukcija slike kod povećala.

Konstrukcija slike kod sabirne leće.

Konstrukcija slike kog rastresne leće.

Žarište F i žarišna daljina f sabirne i rastresne leće te udubljenog i ispupčenog zrcala.

Uvećanje leće ili povećanje leće m je količnik udaljenosti slike b i predmeta a:

$m=-{\frac {b}{a}}$

minusom se naglašava suprotna orijentacija slike i predmeta (obrnuta slika). Iz gornjeg izraza razabiremo da povećanje ovisi o udaljenosti predmeta od leće. Što je udaljenost predmeta od leće manja, veće je povećanje slike. Međutim, povećanje ovisi također i o žarišnoj daljini. Što je žarišna daljina veća, veća je udaljenost slike, a time je i veće povećanje. Prema tome, leće veće žarišne daljine daju i veće stvarne (realne) slike.

Jednadžba optičke leće

Jednadžba leće povezuje položaj slike s položajem predmeta u odnosu na leću. U Gaussovoj aproksimaciji jednadžba glasi:

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{f}}$

gdje su a i b udaljenosti predmeta i slike od središta leće, a f je žarišna daljina leće. Udaljenost predmeta je uvijek pozitivna, a udaljenost slike može biti pozitivna (kad je slika stvarna ili realna) i negativna (kad je slika prividna ili virtualna). Jednadžba leće vrijedi samo za tanke leće (kojima je debljina u usporedbi s promjerom mala) i za zrake svjetlosti koje se prelamaju u neposrednoj blizini optičke osi leće. U realnim se uvjetima pri nastanku slike prolaskom svjetlosti kroz leću pojavljuju aberacije.

Objašnjenje

Uzmimo debelu bikonveksnu leću kojoj su O₁ i O₂ središta zakrivljenosti njezinih sfernih ploha, a r₁ i r₂ polumjeri zakrivljenosti. Iz točkastog izvora B pada zraka svjetlosti na leću u točku A₁. Djelić te plohe na koju pada zraka svjetlosti može se smatrati djelićem ravnine koja se podudara s tangencijalnom ravninom na tu plohu. Zraka svjetlosti prolazeći kroz leću lomi se u točki A₁ prema okomici O₂A₁, a u točki A₂ od okomice O₁A₂. Lom se zbiva na isti način kao kad bismo dio leće kod A₁ i A₂ zamijenili prizmom lomnog kuta ρ. Ako je leća vrlo tanka, onda oba loma možemo spojiti zajedno tako da leću zamijenimo ravninom. U tom slučaju projekcije M₁ i M₂ točaka A₁ i A₂ padaju zajedno u točku M. Devijacija zrake, prolazom kroz leću, iznosi:

$\delta =\alpha _{1}+\alpha _{2}$

Kako zraka prolazi kroz leću kao kroz prizmu, to je iz trokuta O₁O₂A vanjski kut (lomni kut):

$\rho =\beta _{1}+\beta _{2}$

a devijacija kroz prizmu:

$\delta =(n-1)\cdot \rho =(n-1)\cdot (\beta _{1}+\beta _{2})$

odnosno:

$\alpha _{1}+\alpha _{2}=(n-1)\cdot (\beta _{1}+\beta _{2})$

Budući da su α₁, α₂, β₁ i β₂ vrlo mali kutovi, to možemo uzeti da je:

$\alpha _{1}=\tan \alpha _{1}={\frac {m}{a}}$

$\alpha _{2}=\tan \alpha _{2}={\frac {m}{b}}$

$\beta _{1}=\sin \beta _{1}={\frac {m}{r_{1}}}$

$\beta _{2}=\sin \beta _{2}={\frac {m}{r_{2}}}$

gdje je: a - udaljenost predmeta od leće, b - udaljenost slike od leće. Uvrstimo li ove vrijednosti u gornji izraz, dobivamo:

${\frac {m}{a}}+{\frac {m}{b}}=(n-1)\cdot ({\frac {m}{r_{1}}}+{\frac {m}{r_{2}}})$

skraćivanjem jednadžbe s m dobivamo:

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=(n-1)\cdot ({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}})$

To je jednadžba tanke bikonveksne leće. Ako je a = ∞, to jest izvor svjetlosti nalazi se u neizmjernoj daljini, onda je 1/a = 0, pa je b = f, a gornja jednadžba prelazi u:

${\frac {1}{f}}=(n-1)\cdot ({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}})$

gdje je:

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{f}}$

Zbroj recipročnih udaljenosti predmeta i slike od leće jednak je recipročnoj vrijednosti žarišne daljine.

Kod simetrične bikonveksne leće r₁ = r₂ = r, pa njenu žarišnu daljinu dobijemo iz izraza:

${\frac {1}{f}}=2\cdot {\frac {n-1}{r}}$

Kod plankonveksne leće je r₂ = ∞, 1/r₂ = 0, pa izlazi, da je:

${\frac {1}{f}}={\frac {n-1}{r}}$

Konveksne leće imaju pozitivnu, a konkavne negativnu žarišnu daljinu. Jednadžbu konkavne leće dobijemo iz jednadžbe konveksne leće ako uzmemo polumjere zakrivljenosti s negativnim predznacima. Prema tome je jednadžba leće:

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}=(n-1)\cdot (-{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}})$

odnosno:

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=-(n-1)\cdot ({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}})=-{\frac {1}{f}}$

Žarišna daljina

Podrobniji članak o temi: Žarišna duljina

Žarišna daljina, žarišna duljina ili žarišna udaljenost je udaljenost između središta leće i žarišta, ovisi o obliku leće i o tvari od koje je leća napravljena:

$f={\frac {1}{{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{1}}}\cdot ({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}})}}$

gdje su r₁ i r₂ polumjeri zakrivljenosti leće (negativni ako je površina leće konkavna, beskonačni ako je površina leće ravna), n₁ indeks loma optičkoga sredstva u kojem se leća nalazi, n₂ indeks loma optičkoga sredstva od kojeg je leća načinjena. Žarišna udaljenost konvergentnih leća je pozitivna, a žarišna udaljenost divergentnih leća je negativna.

Jakost leće

Podrobniji članak o temi: Jakost leće

Jakost leće j je recipročna vrijednost žarišne udaljenosti f:

$j={\frac {1}{f}}$

Leća to jače lomi zrake što ima manju žarišnu daljinu. Zastarjela mjerna jedinica za jakost leće je 1 dioptrija, a danas je to 1/m ili m^-1. Leća ima jakost od 1 dioptrije ako joj je žarišna daljina 1 metar, odnosno broj dioptrija kazuje koliko se puta žarušna daljina nalazi u 1 metar. Sabirne leće imaju jakost označenu s plus, a rastresne s minus. Na primjer ako je žarišna daljina sabirne leće 25 cm = 0,25 m, onda je njena jakost 1/0,25 = + 4 dioptrije. Rastresna leća jakosti - 2 dioptrije ima žarišnu daljinu 1/- 2 = - 0,5 m = - 50 cm, to jest žarište se nalazi 50 cm ispred leće.