Prijeđi na sadržaj

Predsnop

Izvor: Wikipedija

Predsnop skupova na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz kategorije kojoj su objekti otvoreni podskupovi od , a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova .

Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz u kategoriju grupa i homomorfizama grupa.

Ako kažemo predsnop na topološkom prostoru bez da kažemo predsnop čega, obično podrazumijevamo predsnop skupova.

Još općenitije, predsnopove možemo gledati na ma kojoj kategoriji , umjesto kategorije . Tako su predsnopovi skupova na kategoriji funktori .

Neka je . Tada je hom-funktor u prvom argumentu predsnop zadan pravilom i . Takav predsnop nazivamo reprezentabilnim predsnopom, a tako nazivamo i svaki predsnop za koji postoji i odabran je izomorfizam s funktorom tipa .

Za danu malu kategoriju definiramo kategoriju predsnopova skupova na ovako. Objekti su predsnopovi skupova, a morfizmi su prirodne transformacije funktora. Tada je korespodencija kovarijantni funktor koji zovemo Yonedino ulaganje. Yonedina lema u svom slabijem iskazu kaže da je taj funktor pun i vjeran (drugim riječima, ulaganje kategorija). Kako kategorija predsnopova skupova ima jako dobra svojstva (na primjer, dopušta kolimese i limese svih malih dijagrama) to ulaganje je jako korisno u matematici.

Korisno je da kategorija ima dodatnu strukturu Grothendieckove topologije na sebi koja omogućava da se izdvoje oni predsnopovi koji zadovoljavaju izvjesna svojstva ljepljenja u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Takve predsnopove zovemo snopovima u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Snopovi su jedan od central pojmova u modernoj matematici.

Univerzalno svojstvo

[uredi | uredi kôd]

Konstrukciju zovemo upotpunjenje kolimesima kategorije jer vrijedi sljedeće univerzalno svojstvo:

Teorem (Proposition 2.7.1 u[1]) Neka su kategorije pri čemu D dopušta kolimese malih dijagrama. Tada se svaki funktor razlaže na jedinstven način u kompoziciju gdje je Yonedino ulaganje i je funktor koji čuva kolimese i kojeg zovemo Yonedino proširenje funktora .

Literatura

[uredi | uredi kôd]
  • Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag 1994.

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre, Categories and sheaves, Spriger 2006.