Predsnop

Predsnop skupova na topološkom prostoru $X$ je kontravarijantni funktor $P:Otv_{X}^{\circ }\to X$ iz kategorije $Otv_{X}$ kojoj su objekti otvoreni podskupovi od $X$, a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova $Set$.

Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz $Otv_{X}$ u kategoriju $Grp$ grupa i homomorfizama grupa.

Ako kažemo predsnop na topološkom prostoru bez da kažemo predsnop čega, obično podrazumijevamo predsnop skupova.

Još općenitije, predsnopove možemo gledati na ma kojoj kategoriji $C$, umjesto kategorije $Otv_{X}$. Tako su predsnopovi skupova na kategoriji $C$ funktori $C^{\circ }\to Set$.

Neka je $X\in Ob(C)$. Tada je hom-funktor u prvom argumentu predsnop $h_{X}=Hom(-,X):C^{\circ }\to Set$ zadan pravilom $Ob(C)\ni Y\mapsto Hom(Y,X)\in Ob(Set)$ i $(Mor(C)\ni f:Y\to Z)\mapsto (Hom(f,X):Hom(Z,X)\to Hom(Y,X),g\mapsto g\circ f)$. Takav predsnop nazivamo reprezentabilnim predsnopom, a tako nazivamo i svaki predsnop za koji postoji i odabran je izomorfizam s funktorom tipa $h_{X}$.

Za danu malu kategoriju $C$ definiramo kategoriju ${\hat {C}}$ predsnopova skupova na $C$ ovako. Objekti su predsnopovi skupova, a morfizmi su prirodne transformacije funktora. Tada je korespodencija $Ob(C)\ni X\mapsto h_{X}:=Hom(-,X):C^{\circ }\to Set,\,\,\,Mor(C)\ni f\mapsto (Hom(-,f):g\mapsto f\circ g)$ kovarijantni funktor $h:C\to {\hat {C}},X\mapsto h_{X}$ koji zovemo Yonedino ulaganje. Yonedina lema u svom slabijem iskazu kaže da je taj funktor pun i vjeran (drugim riječima, ulaganje kategorija). Kako kategorija predsnopova skupova ima jako dobra svojstva (na primjer, dopušta kolimese i limese svih malih dijagrama) to ulaganje je jako korisno u matematici.

Korisno je da kategorija $C$ ima dodatnu strukturu Grothendieckove topologije na sebi koja omogućava da se izdvoje oni predsnopovi koji zadovoljavaju izvjesna svojstva ljepljenja u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Takve predsnopove zovemo snopovima u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Snopovi su jedan od central pojmova u modernoj matematici.

Univerzalno svojstvo

Konstrukciju $C\mapsto {\hat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$ zovemo upotpunjenje kolimesima kategorije $C$ jer vrijedi sljedeće univerzalno svojstvo:

Teorem (Proposition 2.7.1 u) Neka su $C,D$ kategorije pri čemu D dopušta kolimese malih dijagrama. Tada se svaki funktor $\eta :C\to D$ razlaže na jedinstven način u kompoziciju $C{\overset {h}{\longrightarrow }}{\hat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D$ gdje je $h$ Yonedino ulaganje i ${\widetilde {\eta }}:{\hat {C}}\to D$ je funktor koji čuva kolimese i kojeg zovemo Yonedino proširenje funktora $\eta$.

Literatura

• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag 1994.