Prijeđi na sadržaj

Ptolemejev poučak

Izvor: Wikipedija
(Preusmjereno s Ptolomejev poučak)
Ptolomejev poučak daje vezu između duljina stranica tetivnog četverokuta: .

Ptolemejev ili Ptolomejev poučak teorem je u euklidskoj geometriji koji daje nužan uvjet da bio četverokut bio tetivan (cikličan), tj. da bi se oko njega mogla opisati kružnica.

Teorem je koristio starogrčki matematičar Klaudije Ptolomej u svome djelu Almagest u kojem je priredio tablice tetiva od 0.5° do 180° s razmakom od pola stupnja.

Iskaz teorema glasi ovako: U svakom tetivnom četverokutu zbroj umnožaka duljina nasuprotnih stranica jednak je umnošku duljina dijagonala.[1]

Odnosno, ako je četverokut tetivan, tada vrijedi sljedeća jednakost:

Obrat Ptolomejeva poučka također vrijedi.

Dokaz

[uredi | uredi kôd]

Vizualni dokaz

[uredi | uredi kôd]
Animirani vizualni dokaz Ptolomejeva poučka.

Klasični dokaz

[uredi | uredi kôd]

Konstruirajno kut jednak kutu .

Kako su i obodni kutovi nad istim lukom, oni su sukladni, pa su trokuti i slični. Zbog te je sličnosti , odnosno

.

Na isti se način dobije da su trokuti i slični, pa slijedi , odnosno

.

Zbrajanjem tih dviju jednakosti imamo:

a kako je slijedi:

što je i trebalo pokazati.[2]

Ako pak tetivni četverokut nije jednostavan, tada će ležati izvan segmenta . No, u ovom slučaju je , što opet daje željeni rezultat.

Ptolomejeva nejednakost

[uredi | uredi kôd]

Općenitija tvrdnja koja vrijedi samo za tetivne četverokute naziva se Ptolomejeva nejednakost, a ona glasi ovako: za dani četverokut vrijedi

.

Jednakost vrijedi ako i samo ako je četverokut tetivni (ciklični) pa je ovaj poseban slučaj ekvivalentan Ptolomejevu poučku.

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. Sanja Hršak, Ptolomejev teorem - dokazi, posljedice i poopćenja, Zagreb, 2018.
  2. Branimir Dakić, Neven Elezović, Udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazija i tehničkih škola 2. dio, Element, Zagreb, 2014.