Jednadžba pravca

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dvije točke ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

$Ax+By+C=0 \,$

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

$Ax+By+C=0 \,$

u drugi oblik kako slijedi

$By=-Ax-C \,$

$y= -\frac{A}{B}x- \frac{C}{B}\,$

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

$y= ax+b \,$

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

$a = -\frac{A}{B}$

$b = -\frac{C}{B}$

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

$y= ax+b \,$

u treći oblik kako slijedi

$y-ax= b \,$

$\frac{y}{b} - \frac{ax}{b} = 1 \,$

$\frac{y}{b} + \frac{x}{\frac{-b}{a}} = 1 \,$

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u slijedećem obliku

$\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1 \,$

gdje su

$m = -\frac{b}{a}, \,$

$n = b. \,$

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

$ax+by+c=0 \,$

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

$y= kx+l \,$

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvije zadane točke kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom $''T'' (x_1, y_1)$ i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

$y-y_1= a(x-x_1) \,$.

Pravac određen s dvije točke

Pravac je po definiciji određen s dvije točke koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke $''T_1''(x_1, y_1)$ i $''T_2'' (x_2, y_2)$ prikazuje se uobičajeno u obliku

$y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \,$.

Značaj

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

$y= ax+b \,$

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

$y= f(x) = ax+b \,$

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: $y= ax+b$, funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

$y= f(x) = ax \,$

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.