Jednadžba pravca

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.


Jednadžba pravca[uredi VE | uredi]

Implicitna jednadžba pravca[uredi VE | uredi]

Razmatramo li jednakost oblika

 Ax+By+C=0 \,

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca[uredi VE | uredi]

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

 Ax+By+C=0 \,

u drugi oblik kako slijedi

 By=-Ax-C \,
 y=   -\frac{A}{B}x- \frac{C}{B}\,

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

 y= ax+b \,

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

 a = -\frac{A}{B}
 b = -\frac{C}{B}

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca[uredi VE | uredi]

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

 y= ax+b \,

u treći oblik kako slijedi

 y-ax= b \,
\frac{y}{b} - \frac{ax}{b} = 1 \,
\frac{y}{b} + \frac{x}{\frac{-b}{a}} = 1 \,

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

   \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1 \,

gdje su

 m = -\frac{b}{a}, \,
 n = b. \,

Druge oznake[uredi VE | uredi]

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

 ax+by+c=0 \,

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

 y= kx+l \,

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.


Određenost pravca[uredi VE | uredi]

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera[uredi VE | uredi]

Neka je pravac određen točkom  ''T'' (x_1, y_1) i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

 y-y_1= a(x-x_1) \, .

Pravac određen dvjema točkama[uredi VE | uredi]

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke  ''T_1''(x_1, y_1) i  ''T_2'' (x_2, y_2) prikazuje se uobičajeno u obliku

 y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \, .


Značaj[uredi VE | uredi]

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

 y= ax+b \,

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

 y= f(x) = ax+b  \,

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika:  y= ax+b , funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

 y= f(x) = ax  \,

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.