Kronecker-Capellijev teorem

U linearnoj algebri, Kronecker-Capellijev teorem daje nužan i dovoljan uvjet da bi sustav linearnih jednadžbi imao rješenje.^[1]

Naime, ako je $A$ matrica sustava, $x$ stupčana matrica nepoznanica te $b$ matrica slobodnih članova, tada se sustav može zapisati u obliku $Ax=b$ .

S $A_{p}$ označimo matricu $[A|b]$ , tj. matricu kojoj smo dobili dodavajući stupac $b$ matrici $A$ . Takvu matricu nazivamo proširenom matricom sustava. Tada teorem kaže da ovaj sustav ima rješenje ako i samo ako je rang proširene matrice sustava jednak rangu matrice sustava.^[2]

Dokaz[uredi | uredi kôd]

Neka sustav koji proučavamo ima $m$ jednadžbi s $n$ nepoznanica. Nadalje, neka je $E=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ kanonska (standardna) baza prostora $M_{n1}$ . Slika operatora $f$ , $f(M_{n1})={\text{Imf}}\leq M_{m1}$ razapeta je vektorima $f(e_{1}),f(e_{2}),...,f(e_{n})$ . Prema tome, vektor $b$ bit će u slici ${\text{Imf}}$ ako i samo ako ga možemo prikazati kao linearnu kombinaciju vektora $f(e_{1}),f(e_{2}),...,f(e_{n})$ , odnosno kao linearnu kombinaciju stupčanih matrica ${\begin{bmatrix}\alpha _{11}\\\alpha _{21}\\\vdots \\\alpha _{m1}\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\alpha _{12}\\\alpha _{22}\\\vdots \\\alpha _{m2}\\\end{bmatrix}},\cdots ,{\begin{bmatrix}\alpha _{1n}\\\alpha _{2n}\\\vdots \\\alpha _{mn}\\\end{bmatrix}}$ , odnosno ako i samo ako je zadnji stupac matrice $A_{p}$ linearna kombinacija ostalih stupaca matrice $A_{p}$ , a to su, ustvari, stupci matrice $A$ . Kako je rang matrice broj linearno nezavisnih stupaca matrice, tvrdnja je dokazana.

Dakle, u slučaju da je

$r(A_{p})>r(A)$ , zadnji se stupac ne može prikazati kao linearna kombinacija stupaca od $A$ pa sustav nema rješenja.
Ako je pak $r(A_{p})=r(A)$ , po Kronecker-Capellijevu teoremu sustav ima rješenja.