Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza

Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza jedan je od temeljnih teorema iz matematičke analize. Koristi se u dokazivanju svojstava nizova, ali i redova.

Njegov iskaz glasi:

Svaki ograničen i monoton niz $(a_{n})$ realnih brojeva je konvergentan.

Dokaz

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je niz $(a_{n})$ rastući. Kako je on po pretpostavci i ograničen, skup $A=\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ je odozgo ograničen pa po aksiomu potpunosti ima supremum u skupu $\mathbb {R}$, odnosno postoji $a=\sup A\in \mathbb {R}$. Po definiciji supremuma vrijedi $a_{n}\leq a$ za svaki $n\in \mathbb {N}$ te za svaki $\epsilon >0$ postoji $a_{n_{0}}\in A$ (za neki $n_{0}\in \mathbb {N}$) takav da je $a-\epsilon <a_{n_{0}}$. Kako niz $(a_{n})$ raste, za $n\geq n_{0}$ dobivamo $a-\epsilon <a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a<a+\epsilon$, odnosno $|a_{n}-a|<\epsilon$. Odavde zaključujemo da je niz $(a_{n})$ konvergentan i $\lim _{n}a_{n}=a$. Dokaz se, dakle, provodi analogno za padajući niz.