De Moivreova formula

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

De Moivreova formula nazvana je po Abrahamu de Moivreu (26. svibanj 1667. – 27. studeni 1754.) francuskom matematičaru i izražava da za bilo koji realni broj x te cjelobrojni n, vrijedi da je

Ova formula je važna jer povezuje trigonometrijske funkcije s kompleksnim brojevima. Formula vrijedi i ako je x kompleksna veličina. Razvojem lijeve strane i zatim uspoređujuće realne i imaginarne dijelove pod pretpostavkom da je x realni broj mogu se izvesti izrazi za cos(nx) i sin(nx) izraženi sa cos(x) and sin(x). Štoviše, uz pomoć formule mogu se naći eksplicitni izrazi za n-ti korijen iz jedan, uzimajući u obzir da lijeva strana jednakosti predstavlja ustvari kompleksni broj z tako da je zn = 1.


Izvod[uredi VE | uredi]

Premda povijesno dokazana ranije, de Moivreova formula može se jednostavno izvesti iz Eulerove formule kako slijedi

i koristeći Eulerovu formulu slijedi da je


Necjelobrojne potencije[uredi VE | uredi]

Za razliku od Eulerove formule koja je istinita i za necjelobrojni n, de Moivreova formula općenito ne vrijedi za necjelobrojne n, a zbog toga što necjelobrojna potencija kompleksnog broja može imati mnogo različitih vrijednosti. Izvod de Moivreove formule uključuje potenciranje kompleksnog broja na n-tu potenciju, dok Eulerova formula uključuje kompleksnu potenciju pozitivnog realnog broja i ima zato uvijek jedinstven iznos. Na primjer

za x = 0 and n = 1/2 formula daje 11/2 = 1
za x = 2π and n = 1/2 formula daje 11/2 = −1

Kako su kutovi 0 i 2π jednaki, iz formule nalazimo različite vrijednosti za isti izraz. Vrijednost kvadratnog korijena nije, dakle, jedinstvena. Takva poteškoća se ne pojavljuje ukoliko koristimo Eulerovu formulu

ei0 = 1
e = −1


Dokaz indukcijom (za cjelobrojni n)[uredi VE | uredi]

Razmatramo tri slučaja.

Za n > 0, razmatramo najjednostavniji slučaj gdje je n = 1 i formula, očito, vrijedi. Pretpostavimo da je formula istinita i za neki cjelobrojni k, što znači da pretpostavljamo da je

Razmotrimo sada slučaj gdje je n = k + 1


Zaključili smo da je formula istinita za n = k + 1 kada je istinita i za n = k. Slijedeći princip matematičke indukcije slijedi i da je formula istinita i za sve cjelobrojnen≥1.

Kada je n = 0 formula je očito također istinita jer je , i prema definiciji .

Kada je n < 0, razmatramo pozitivni cjelobrojni m tako da je n = −m, odnosno

Stoga, formula je istinita za sve cjelobrojne vrijednost n.


Generalizacija[uredi VE | uredi]

Formula je istinita i u općenitijem slučaju, tj. ako su z i w kompleksni brojevi. Tada je

višeznačna funkcija, dok

nije višeznačna funkcija. Zato možemo ustvrditi da je

     

jedna vrijednost od

     


Primjene[uredi VE | uredi]

De Moivreova formula se može primijeniti u cilju nalaženja n-tog korijena iz kompleksnog broja. Formula se, istina, ne koristi izravno u njezinu izvornom smislu jer potencija nije cjelobrojna, no može se ustvrditi da ako je kompleksni broj zadan u polarnim koordinatama kao

tada je

gdje je cijeli broj. Kako bi se našlo različitih korijena od moraju se razmatrati različite vrijednosti i to od do .