De Moivreova formula nazvana je po Abrahamu de Moivreu (1667. – 1754.) francuskom matematičaru i izražava da za bilo koji realni broj x te cjelobrojni n, vrijedi da je

Ova formula je važna jer povezuje trigonometrijske funkcije s kompleksnim brojevima. Formula vrijedi i ako je x kompleksna veličina. Razvojem lijeve strane i zatim uspoređujuće realne i imaginarne dijelove pod pretpostavkom da je x realni broj mogu se izvesti izrazi za cos(nx) i sin(nx) izraženi s cos(x) and sin(x). Štoviše, uz pomoć formule mogu se naći eksplicitni izrazi za n-ti korijen iz jedan, uzimajući u obzir da lijeva strana jednakosti predstavlja ustvari kompleksni broj z tako da je zn = 1.
Premda povijesno dokazana ranije, de Moivreova formula može se jednostavno izvesti iz Eulerove formule kako slijedi


i koristeći Eulerovu formulu slijedi da je

Za razliku od Eulerove formule koja je istinita i za necjelobrojni n, de Moivreova formula općenito ne vrijedi za necjelobrojne n, a zbog toga što necjelobrojna potencija kompleksnog broja može imati mnogo različitih vrijednosti. Izvod de Moivreove formule uključuje potenciranje kompleksnog broja na n-tu potenciju, dok Eulerova formula uključuje kompleksnu potenciju pozitivnog realnog broja i ima zato uvijek jedinstven iznos. Na primjer
- za x = 0 and n = 1/2 formula daje 11/2 = 1
- za x = 2π and n = 1/2 formula daje 11/2 = −1
Kako su kutovi 0 i 2π jednaki, iz formule nalazimo različite vrijednosti za isti izraz. Vrijednost kvadratnog korijena nije, dakle, jedinstvena. Takva poteškoća se ne pojavljuje ako koristimo Eulerovu formulu
- ei0 = 1
- eiπ = −1
Razmatramo tri slučaja.
Za n > 0, razmatramo najjednostavniji slučaj gdje je n = 1 i formula, očito, vrijedi. Pretpostavimo da je formula istinita i za neki cjelobrojni k, što znači da pretpostavljamo da je

Razmotrimo sada slučaj gdje je n = k + 1
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{hipotezom indukcije}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right].&&\qquad {\mbox{trigonometrijskim identitetima}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d20636041f32a54f9ba9bd3b86a45d93d0ef033)
Zaključili smo da je formula istinita za n = k + 1 kada je istinita i za n = k. Slijedeći princip matematičke indukcije slijedi i da je formula istinita i za sve cjelobrojnen≥1.
Kada je n = 0 formula je očito također istinita jer je
, i prema definiciji
.
Kada je n < 0, razmatramo pozitivni cjelobrojni m tako da je n = −m, odnosno

Stoga, formula je istinita za sve cjelobrojne vrijednost n.
Formula je istinita i u općenitijem slučaju, tj. ako su z i w kompleksni brojevi. Tada je

višeznačna funkcija, dok

nije višeznačna funkcija. Zato možemo ustvrditi da je
jedna vrijednost od
De Moivreova formula se može primijeniti u cilju nalaženja n-tog korijena iz kompleksnog broja. Formula se, istina, ne koristi izravno u njezinu izvornom smislu jer potencija nije cjelobrojna, no može se ustvrditi da ako je
kompleksni broj zadan u polarnim koordinatama kao

tada je
![{\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eab1404986f106fd12c1a60f82f0222cd55f9c5)
gdje je
cijeli broj. Kako bi se našlo
različitih korijena od
moraju se razmatrati različite vrijednosti
i to od
do
.