Prijeđi na sadržaj

Jednadžba s apsolutnom vrijednosti

Izvor: Wikipedija

U postupku rješavanja jednadžbe traži se vrijednost nepoznate veličine koja udovoljava uvjetima koje postavlja jednadžba. Ako se nepoznata veličina nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti, tada će to u rješavanje jednadžbe unijeti neke nove odnose.

Apsolutna vrijednost broja i nepoznate veličine

[uredi | uredi kôd]

Apsolutna vrijednost realnog broja a je izraz |a| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan predznak. Za svaki realni broj a apsolutna vrijednost broja ili modul od a je definiran kao

.

Na isti način apsolutna vrijednost realne nepoznate veličine x je izraz |x| gdje je apsolutna vrijednost nepoznate veličine definirana kao

.

Jednadžba s jednim izrazom apsolutne vrijednosti

[uredi | uredi kôd]

Jednostavna jednadžba

[uredi | uredi kôd]

Jednadžba je zadata na način da se nepoznata veličina x nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti:

Iz jednadžbe slijedi da je:

te slijede i rješenja jednadžbe:

,

gdje oba rješenja udovoljavaju uvjetu jednadžbe.

Složenija jednadžba

[uredi | uredi kôd]

Jednadžba može biti i zadata u nešto složenijem obliku:

odakle najprije slijedi da je:

Temeljem definicije apsolutne vrijednosti nepoznate veličine postoje dvije mogućnosti

odakle slijedi da je:

te

odakle slijedi redom:

te je drugo rješenje jednadžbe:

Jednadžba s dva izraza apsolutne vrijednosti

[uredi | uredi kôd]

Jednadžbe gdje se nepoznata veličina nalazi pod dva znaka apsolutnih vrijednosti, imat će općenito veći broj rješenja od kojih, obzirom na prirodu apsolutne vrijednosti broja, neka možda i neće zadovoljavati početnu jednadžbu.

Neka je jednadžba zadana u obliku:

Temeljem definicije apsolutne vrijednosti nepoznate veličine postoje dvije mogućnosti:

Iz jednadžbe slijede daljnje dvije mogućnosti:

.

Iz jednadžbe slijedi prvo rješenje:

,

a iz jednadžbe slijedi drugo rješenje:

.

Iz jednadžbe slijede druge dvije mogućnosti:

i

Prvo i drugo rješenje očito zadovoljava početnu jednadžbu, dok treće i četvrto rješenje ne zadovljava.

Literatura

[uredi | uredi kôd]
  • Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.