Legendreov simbol

Legendreov simbol matematička je oznaka, odnosno funkcija koju ta oznaka predstavlja, a koja se rabi i proučava u teoriji brojeva, posebno kod izvođenja svojstava kvadratnih ostataka. Funkcija poprima vrijednosti 1, –1 i 0 te je multiplikativna.

Simbol je uveo znameniti francuski matematičar Adrien-Marie Legendre godine 1797. ili 1798., kada je pokušao dokazati Gaussov kvadratni zakon reciprociteta. Zanimljivo je da se Jacobijev i Kroneckerov simbol, odnosno poopćenje Legendreovog simbola na bilo koji neparni broj, javljaju nešto kasnije.

Legendreov simbol zapisujemo kao $\left({\frac {a}{p}}\right)$. On je jednak $1$ ako je $a$ kvadratni ostatak modulo $p$, jednak je $-1$ ako je $a$ kvadratni neostatak modulo $p$, a jednak je $0$ ako $p$ dijeli $a$.

Preciznije,

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{ako je }}a{\text{ kvadratni ostatak modulo }}p,\\-1&{\text{ako je }}a{\text{ kvadratni neostatak modulo }}p,\\0&{\text{ako je }}a\equiv 0{\pmod {p}}.\end{cases}}$

U svojim je radovima Legendre definirao simbol na ovaj način:$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}\quad {\text{ te }}\quad \left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}.$ No, prema Eulerovom kriteriju ove dvije definicije su posve ekvivalentne.

Osnovna svojstva

• Legendreov simbol je periodičan u gornjem argumentu: ako je a ≡ b (mod p), tada je

  $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right).$

• Legendreov simbol je multiplikativna funkcija svojega gornjeg argumenta:

  $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right).$

Na ovo se nadovezuje i čitav niz svojstava vezanih i uz gore spomenutu kvadratnu recipročnost.