Logaritamska jednadžba

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Logaritamska jednadžba je jednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.

Područje definicije[uredi VE | uredi]

Logaritamska jednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam negativnog broja).

Jednostavna logaritamska jednadžba[uredi VE | uredi]

Jednostavnijom logaritamskom jednadžbom možemo smatrati logaritamsku jednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.

Primjer 1[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba:

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Primjer 2[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba: Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Primjer 3[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba:

odakle slijedi da je:

odn.

Rješavajući ovu jednadžbu s apsolutnom vrijednosti, lako je naći da postoje dva moguća rješenja početne logaritamske jednadžbe: x1 = 64 te x2 -61.

Složenija logaritamska jednadžba[uredi VE | uredi]

Složenije logaritamske jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.

Primjer 1[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba:

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo y1 = 4 te y2 = -2. Sukladno supstituciji logx=y, slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: x1 = 10.000 te x2 = 0,01.

Primjer 2[uredi VE | uredi]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po x kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo x1 = x2 = 2, a što je ujedno i rješenje početne logaritamske jednadžbe.

Primjer 3[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba:

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo y1 = 1 te y2 = -2/3. Sukladno supstituciji log2x=y, slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: x1 = 2 te x2 = 2(-2/3).

Primjer 4[uredi VE | uredi]

Zadana je logaritamska jednadžba:

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po logx kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo logx1 = 1 te log x2 = -1/3. Kako je jedan od članova početne logaritamske jednadžbe izražen kao log(logx), drugo rješenje očito nema smisla prema definiciji logaritma. Postoji, dakle, samo jedno rješenje gdje je logx = 1, odakle slijedi da je x = 10, što je i jedino rješenje početne logaritamske jednadžbe.

Literatura[uredi VE | uredi]

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.