Prijeđi na sadržaj

Osnovni teorem o racionalnim nultočkama

Izvor: Wikipedija

Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri.

Tvrdi da ako su relativno prosti brojevi i ako je jedna nultočka polinoma s cjelobrojnim koeficijentima tada te .[1]

Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je , tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku jer tada će očito dijeliti slobodni član , a uvjet trivijalno je zadovoljen.

Dokaz

[uredi | uredi kôd]

Neka imamo polinom s koeficijentima Pretpostavimo da je nultočka polinoma , tj. da je za neka dva relativno prosta broja .

Dakle, vrijedi

Pomnožimo obje strane jednakosti s . Dobivamo

Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:

Dakle, dijeli . No, kako su relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i također relativno prosti što znači da mora biti .

Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik

Analogno slijedi , što je i trebalo pokazati.

Izvori

[uredi | uredi kôd]