Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 27. siječnja 2010. u 10:16

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.

Područje definicije

Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam od negativnog broja).

Jednostavna logaritamska nejednadžba

Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.

Primjer 1

Zadana je logaritamska nejednadžba:

log_{3}(x+2)<2\,

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

{\begin{aligned}x+2&<3^{2}\\x+2&<9\\x&<7\end{aligned}}

Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki x iz intervala $\left\langle -2,7\right\rangle$ .

Primjer 2

Zadana je logaritamska nejednadžba:

log_{2}|x-2|>4\,

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

|x-2|>16\,

Rješavajući nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti nalazimo kao rješenje nejednadžbe da x treba biti x>18, ili x<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki x iz intervala $\left\langle -\infty ,-14\right\rangle$ i $\left\langle 18,+\infty \right\rangle$ .

Primjer 3

Zadana je logaritamska nejednadžba:

-2<log_{3}(x-1)<2\,

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

3^{-2}<(x-1)<3^{2}\,

{\frac {1}{9}}<(x-1)<9\,

{\frac {10}{9}}<x<10\,

Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval $\left\langle {\frac {10}{9}},10\right\rangle$ .

Složenija logaritamska nejednadžba

Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.

Primjer 1

Zadana je logaritamska nejednadžba:

log(3x^{2}-5x-3)>log(4x-3)

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

{\begin{aligned}3x^{2}-5x-3&>4x-3\\3x^{2}-9x&>0/:3\\x^{2}-3&>0\\x(x-3)&>0\end{aligned}}

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, očito, svaki x iz intervala $\left\langle 3,+\infty \right\rangle$ . Drugo rješenje nejednadžbe (x<0) prema definiciji logaritma ne može biti rješenje zadane logaritamske nejednadžbe.

Primjer 2

Zadana je logaritamska nejednadžba:

log{\sqrt {x^{2}+2x-3}}>logx

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} > log \sqrt{x^2+2x-3}-logx & >0 \\ \frac{\sqrt{x^2+2x-3}{x} & >1 \\ \sqrt{x^2+2x-3}& >x / ^{(2)} \\ x^2+2x-3& > x^2 \\ 2x& >3 \\ x& > \frac{3}{2} \end{align} }

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, zato, svaki x iz intervala $\left\langle {\frac {3}{2}},+\infty \right\rangle$ .

Primjer 3

Zadana je logaritamska nejednadžba:

log_{9}log_{2}log_{3}(x-1)>{\frac {1}{2}}

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

{\begin{aligned}log_{2}log_{3}(x-1)&>3\\log_{3}(x-1)&>8\\x-1&>3^{8}\\x-1&>6561\\x&>6562\end{aligned}}

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki x iz intervala $\left\langle 6562,+\infty \right\rangle$ .

Primjer 4

Zadana je logaritamska nejednadžba:

{\frac {3logx}{logx+1}}>{\frac {-3}{logx+1}}

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

{\begin{aligned}{\frac {3logx}{logx+1}}-logx&>{\frac {-3}{logx+1}}/\cdot (logx+1)\\3logx-log^{2}x-logx&>-3\\-log^{2}x+2logx+3&>0/\cdot (-1)\\log^{2}x-2logx-3&<0\\&=\end{aligned}}

Rješavajući kvadratnu nejednadžbu po logx, nalazimo da je uvjet nejednadžbe ispunjen za logx<3, odn. za logx>-1, što znači da će rješenje logaritamske nejednadžbe biti svaki x iz intervala $\left\langle {\frac {1}{10}},1.000\right\rangle$ .

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
-Logaritamska [[jednadžba]] je jednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar [[logaritam|logaritma]] ili čini bazu logaritma.
+Logaritamska [[nejednadžba]] je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar [[logaritam|logaritma]] ili čini bazu logaritma.
-==Područje definicije==
-Logaritamska jednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni [[realni broj|realnih brojeva]] nije definiran logaritam od negativnog broja).
-==Jednostavna logaritamska jednadžba==
-Jednostavnijom logaritamskom jednadžbom možemo smatrati logaritamsku jednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
-===Primjer 1===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-:<math>log \frac{2x}{x-4} = 1\, </math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-\frac{2x}{x-4} & = 10     \\
-x & = 10(x-4)     \\
-x& =   10x-40     \\
--8x& =-40  /  : (-8)     \\
-x& = 5
-\end{align}
-</math>
-===Primjer 2===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-<math> log_{x-2}1000=3 \,</math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-(x-2) ^3& =  1000    \\
-(x-2) ^3& =  10^3     \\
-x-2& = 10     \\
-x& =  12     \\
-\end{align}
-</math>
-===Primjer 3===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-:<math> log_5 |2x-3| = 3 \, </math>
-odakle slijedi da je:
-:<math>  |2x-3| = 5^3 \, </math>  odn.
-:<math>  |2x-3| = 125. \, </math>
-Rješavajući ovu jednadžbu s apsolutnom vrijednosti, lako je naći da postoje dva moguća rješenja početne logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 64 te ''x<sub>2</sub>'' -61.
-==Složenija logaritamska jednadžba==
-Složenije logaritamske jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
-===Primjer 1===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-:<math> log^2x - logx^2 - 8 =0 \, </math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-log^2x - 2logx - 8& =   0  /supstitucija: logx=y \\
-y^2-2y-8& =  0
-\end{align}
-</math>
-Rješavajući nađenu [[kvadratna jednadžba|kvadratnu jednadžbu]] po ''y'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''y<sub>1</sub>'' = 4 te ''y<sub>2</sub>'' = -2. Sukladno supstituciji ''logx=y'', slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 10.000 te ''x<sub>2</sub>'' = 0,01.
-===Primjer 2===
-:<math> log_2(x^2+4) = 2 + log_2x   \,   </math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-^{(2+log_2x)}& = x^2+4     \\
-\cdot2^{log_2x}& = x^2+4           \\
-x& =  x^2+4               \\
--x^2+4x-4  & =  0 /  \cdot(-1)   \\
-x^2-4x+4  & = 0
-\end{align}
-</math>
-Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''x'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''x<sub>1</sub>'' =  ''x<sub>2</sub>'' = 2, a što je ujedno i rješenje početne logaritamske jednadžbe.
-===Primjer 3===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-:<math> 3log_2x-2log_x2=1    \,   </math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-log_2x -2 \frac{log_22}{log_2x}  & =   1   \\
-log_2x -2  \frac{1}{log_2x}  & = 1 / \cdot(log_2x )   \\
-log_2^2x-log_2x-2 & =  0 /supstitucija:  log_2x=y  \\
-y^2-y-2& =   0    \\
-\end{align}
-</math>
-Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''y'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''y<sub>1</sub>'' = 1 te ''y<sub>2</sub>'' = -2/3. Sukladno supstituciji ''log<sub>2</sub>x=y'', slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 2 te ''x<sub>2</sub>'' = 2<sup>(-2/3)</sup>.
-===Primjer 4===
-Zadana je logaritamska jednadžba:
-:<math> log(logx)+log(logx^3-2)=0 \,    </math>
-Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
-: <math>
-\begin{align}
-logx(logx^3-2) & =   1   \\
-logx(3logx-2) & =   1    \\
-log^2x-2logx-1& = 0
-\end{align}
-</math>
-Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''logx'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''logx<sub>1</sub>'' = 1 te ''log x<sub>2</sub>'' = -1/3. Kako je jedan od članova početne logaritamske jednadžbe izražen kao ''log(logx)'', drugo rješenje očito nema smisla prema definiciji logaritma. U tom smislu postoji samo jedno rješenje gdje je ''logx'' = 1, odakle slijedi da je ''x'' = 10 i jedino rješenje početne logaritamske jednadžbe.
-Logaritamska nejednadžba je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.
 ==Područje definicije==
-Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam od negativnog broja).
+Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni [[realni broj|realnih brojeva]] nije definiran logaritam od negativnog broja).
 ==Jednostavna logaritamska nejednadžba==
 Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
 ===Primjer 1===
 Zadana je logaritamska nejednadžba:
-<math>  log_3(x+2)<2           \, </math>
+:<math>  log_3(x+2)<2    \, </math>
 Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
 : <math>
@@ Redak 109: / Redak 16: @@
 \end{align}
 </math>
-Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki x iz intervala<math> \left \langle -2, 7 \right \rangle</math>.
+Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki ''x'' iz intervala <math> \left \langle -2, 7 \right \rangle</math>.
 ===Primjer 2===
-Zadane je logaritamska nejednadžba:
+Zadana je logaritamska nejednadžba:
-<math>log_2  |x-2|>4 \, </math>
+:<math>log_2  |x-2|>4 \, </math>
 Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
-: <math>|x-2|& > 16   </math>
+:<math>|x-2| > 16 \,  </math>
-Rješavajući nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti nalazimo  kao rješenje nejednadžbe da x treba biti x>18, ili x<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki x iz intervala
+Rješavajući [[nejednadžba s apsolutnom vrijednosti|nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti]] nalazimo  kao rješenje nejednadžbe da ''x'' treba biti ''x''>18, ili ''x''<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki ''x'' iz intervala
 <math> \left \langle -\infty, -14\right \rangle</math> i <math> \left \langle 18, +\infty \right \rangle</math>.
 ===Primjer 3===
 Zadana je logaritamska nejednadžba:
-:<math>   -2<log_3(x-1)<2 </math>
+:<math>   -2<log_3(x-1)<2 \,</math>
 Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
-:<math>   3^{-2} <(x-1)<3^2 </math>
+:<math>   3^{-2} <(x-1)<3^2 \,</math>
-:<math>   \frac{1}{9}  <(x-1)<9 </math>
+:<math>   \frac{1}{9}  <(x-1)<9 \,</math>
-:<math>   \frac{10}{9}  <x<10 </math>
+:<math>   \frac{10}{9}  <x<10 \,</math>
-Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval <math> \left \langle 10/9, 10 \right \rangle</math>.
+Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval <math> \left \langle \frac{10}{9}, 10 \right \rangle</math>.
 ==Složenija logaritamska nejednadžba==
 Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.