Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora $\nabla$, što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

$\nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},$

a definicija operatora $\nabla$ u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija	Notacija
Gradijent	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$
Rotacija	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$
Divergencija	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$
Laplasijan	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$

Najpoznatiji teoremi

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv	Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula	$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .$
Greenov teorem	$\int _{C}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$
Stokesov teorem	$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$
Gaussov teorem	$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija
• Gradijent
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama