Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.
Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.
Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.
Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.
Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
≡
x
^
∂
∂
x
+
y
^
∂
∂
y
+
z
^
∂
∂
z
,
{\displaystyle \nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},}
a definicija operatora
∇
{\displaystyle \nabla }
malo je složenija.
Najjednostavnije operacije su:
Operacija
Notacija
Gradijent
grad
(
f
)
=
∇
f
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}
Rotacija
rot
(
F
)
=
∇
×
F
{\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }
Divergencija
div
(
F
)
=
∇
⋅
F
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }
Laplasijan
Δ
f
=
∇
2
f
=
∇
⋅
∇
f
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:
Naziv
Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula
φ
(
q
)
−
φ
(
p
)
=
∫
L
∇
φ
⋅
d
r
.
{\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .}
Greenov teorem
∫
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \int _{C}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Stokesov teorem
∫
Σ
∇
×
F
⋅
d
Σ
=
∮
∂
Σ
F
⋅
d
r
,
{\displaystyle \int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}
Gaussov teorem
∭
V
(
∇
⋅
F
)
d
V
=
∬
∂
V
F
⋅
d
S
,
{\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}
