Red (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Pojednostavljeno govoreći, red je suma beskonačno mnogo članova nekog niza , tj. .

Objekti koji se nazivaju članovi reda, mogu označavati brojeve, funkcije, vektore, matrice, itd. Već prema tome šta su mu članovi, red može biti numerički red, funkcijski red, red vektora, red matrice. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis , ili još kraće

Formalno, red se definira kao granična vrijednost niza parcijalnih suma. Za članove niza definiramo novi niz , gdje je zbroj prvih n članova niza, tj.

Vrijednost nazivamo n-tom parcijalnom sumom reda. Vrijednost tada nazivamo redom (ili ponekad, sumom reda). Ako je vrijednost reda konačna, za red kažemo da je konvergentan. U suprotnom za red kažemo da je divergentan.

Red može imati i oblik

(npr. Loranov red) ali i oblik

Neki tipovi redova[uredi VE | uredi]

  • Geometrijski red je red kod koga se uzastopni članovi dobivaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primjer:
U općem slučaju, geometrijski red
konvergira akko |z| < 1.
Harmonijski red divergira.
  • Alternirajući red je red kod kojeg uzastopni članovi imaju suprotne predznake. Na primjer:
  • Red
konvergira ako r > 1 a divergira za r ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijem za konvergenciju redova. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
konvergira ako niz bn konvergira limesu L kada n teži beskonačnosti. Tada je vrijednost reda b1L.

Apsolutna konvergencija[uredi VE | uredi]

Za red

se kaže da apsolutno konvergira ako red apsolutnih vrijednosti

konvergira. U ovom slučaju, početni red, i sva njegova preuređenja, konvergiraju, i konvergiraju ka istoj sumi.

Po Rimannovom teoremu o redovima, ako red uvjetno konvergira, uvijek se može naći preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štoviše, ako su an realni, i S je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje konvergira ka S.