Aproksimacija funkcija

Aproksimacija funkcija

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

Aproksimacija funkcija je matematički problem zamjene zadane funkcije f nekom drugom funkcijom g, na određenom intervalu, koja je u nekom smislu blizu početnoj funkciji i pripada nekoj unaprijed definiranoj klasi funkcija. Nešto manje formalan opis aproksimacije funkcije jest da je to funkcija koja nije potpuno ista kao početna, ali se mnogo lakše izračunava i u željenom intervalu je dovoljno točna.

U primjeni je ta dovoljno točna i lako izračunljiva funkcija najčešće polinom. Problem aproksimacije funkcije f funkcijom g svodi se u tom slučaju na određivanje vrijednosti koeficijenata polinoma a₀, a₁, … a_n.

Aproksimacijska funkcija može biti linearna i nelinearna po parametrima. Prema kriterijima za izbor parametara aproksimacije razlikujemo više vrsta aproksimacije, ali glavne su:

• Interpolacija
• Srednjekvadratna aproksimacija

Linearna i kvadratna aproksimacija

Ako je poznata vrijednost funkcije $f$ i vrijednost u nekoj točki $x_{0}$ njene prve derivacije $f'$ onda polinom

$$g(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$$

od svih polinoma prvog stupnja najbolje aproksimira funkciju u okolini točke $x_{0}$.Takva aproksimacija se ponekad naziva linearnom aproksimacijom. Ako se uzme u obzir i vrijednost druge derivacije onda se dolazi do kvadratne aproksimacije

$$g(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}$$

koja se u primjeni, kada je potrebna veća preciznost od linearne aproksimacije, koristi u okolini $x_{0}=0$ gdje poprima pojednostavljen oblik.

Takve aproksimacije su poseban slučaj Taylorovog polinoma i Taylorovog reda.