Baza (linearna algebra)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Baza nekog vektorskog prostora V nad poljem K je uređeni skup međusobno linearno nezavisnih i ne-nul vektora e = {e1, e2, ... , en}, čijom se linearnom kombinacijom može jednoznačno predstaviti svaki drugi vektor a iz V:

a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K

Odavde slijedi da je ovakav skup također i minimalan, tj. da ne postoji neki drugi skup vektora f={f1, f2, ... , fm}, takav da je m<n koji bi također bio baza.

Ako bi pretpostavili da takav skup vektora f postoji, tada bi se svaki od m vektora fi mogao prikazati kao linearna kombinacija n vektora iz skupa e, tj.

f_i = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n,  i=1,...,m

Rješavanjem tog sustava m jednadžbi s n nepoznanica, pri čemu je broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, daje parametarska rješenja, što znači da se vektor fi ne može jednoznačno prikazati pomoću vektora iz skupa e. To se pak kosi s pretpostavkom da je skup e baza, pa početna pretpostavka da postoji traženi skup f nije točna.

Kako se u vektorskom prostoru dimenzije n može predstaviti n linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje n vektora, što zajedno s gornjim zaključkom o minimalnosti baze daje da baza n-dimenzionog vektorskog prostora V ima točno n vektora.

Kanonska baza[uredi VE | uredi]

Jedna od baza n-dimenzionog vektorskog prostora V se može definirati na sljedeći način:

e:= \{e_i = (\underbrace{0,\dots ,0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots ,0 }_{n-i}),  \;\; i=1,\dots ,n  \}

Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je i ortonormirana.

Vidjeti također[uredi VE | uredi]


P math.png Nedovršeni članak Baza (linearna algebra) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.