Vektorski prostor

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primjenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija. Definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo sa 0 i zovemo nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru \alpha \in F i svakom vektoru x \in V pridružuje vektor \alpha x\in V, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) \alpha (\beta x)=(\alpha \beta) x, \forall \alpha , \beta \in F, \forall x\in V
(II)  \alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,  \forall \alpha \in F, \forall x, y \in V
(III)  (\alpha + \beta )x=\alpha x+\beta x, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall x \in V
(IV) 1x=x, \forall x \in V

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V naziva vektorski prostor nad poljem F i piše V(F).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Također, vektorski se prostor u kojem je definiran skalarni produkt naziva Euklidski vektorski prostor.