Diofantska jednadžba

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Diofantskom jednadžbom nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu ili neodređenu jednadžbu nekog drugog oblika koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva.

Linearna Diofantska jednadžba[uredi VE | uredi]

Linearna Diofantska jednadžba ima općeniti oblik:

ax+by=c \,

gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupa prirodnih brojeva.

Primjer 1[uredi VE | uredi]

Zadana je Diofantska jednadžba:

 11x+8y=104.\,

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:


\begin{align}
8y& =  104-11x    \\
y& =  \frac{104-11x}{8}      \\
y& = 13- \frac{11x}{8}          
\end{align}

Razlomak jedino može biti cijeli broj za x=8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe: x=8, y=2.

Primjer 2[uredi VE | uredi]

Zadana je Diofantska jednadžba:

 3x+1=5y \,

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:


\begin{align}
3x& = 5y-1     \\
x& =  \frac{5y-1}{3}      \\
x& =y+  \frac{2y-1}{3}     
\end{align}

Veličine x i y bit će cijeli brojevi ukoliko je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za uređene parove brojeva (x, y) : (3, 2), (8, 5), (13, 8),…. , gdje se može naći po volji velik broj uređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi.

Nelinearna Diofantska jednadžba[uredi VE | uredi]

Nelinearnim Diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadžbe gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.

Nelinearna Diofantska jednadžba u jednostavnom obliku[uredi VE | uredi]

Zadana je jednadžba:

 xy-2y=7x-5 \,

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:


\begin{align}
y(x-2)& = 7x-5     \\
y& =  \frac{7x-5}{x-2}   \\
y& = \frac{7x-14+14-5}{x-2}   \\
y& =  7 +  \frac{9}{x-2}        
\end{align}

Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove brojeva (x, y): (3, 16), (5, 10) i (11, 8).

Pitagorine trojke[uredi VE | uredi]

Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (x, y, z) većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:

x^n + y^n = z^n. \,

za n=2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), …, itd., gdje se može naći po volji velik broj uređenih trojki brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi. Za prirodni broj n>2 ne postoje takvi prirodni brojevi koji bi udovoljili jednadžbi, što je postavio francuski matematičar Pierre de Fermat u jednom od svojih teorema.

Pellova jednadžba[uredi VE | uredi]

Jednadžbu oblika:

x^2 -n y^2 = \pm 1 \,

nazivamo Pellova jednadžba, gdje su jednadžbe ovog oblika razmatrali još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan broj n, gdje n nije kvadrat prirodnog broja, mogu se naći prirodni brojevi x i y koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:

x^2 - 7y^2 = 1.\,

to su brojevi x=8 i y=3, gdje postoji praktički po volji velik broj uređenih parova i drugih brojeva kao što su to: (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151; 3096720); (130576328, 49353213); ... itd.

Erdős–Strausova hipoteza[uredi VE | uredi]

Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve n ≥ 2 postoji racionalni broj 4/n koji se može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:

  \frac{4}{n} =  \frac{1}{x} +  \frac{1}{y} +\frac{1}{z}.  \,

Na primjer, za n = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje je x = 451, y = 295364 i z = 3249004. Pomnožimo li obje strane jednadžbe s nxyz, nalazimo Diofantsku jednadžbu oblika:

 4xyz=n(xy+xz+yz).\,