Prirodni broj

Prirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve {1, 2, 3, ...}. Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom N. Skup se često proširuje brojem nula te ga u tom slučaju označavamo sa N₀.

Eksperimentalno možemo reći:

I   $\mathbb{N}$ nije prazan skup.

II   $\mathbb{N}$ je uređen skup.

III   Ako je n$\in\mathbb{N}$, onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan.

IV   Skup $\mathbb{N}$ nema maksimalnog (najvećeg) elementa.

Definicija

Neprazni skup $\mathbb{N}$ zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti (aksiomi):

Aksiom A: Postoji funkcija $s$ sa $\mathbb{N}$ u $\mathbb{N}$.

Aksiom B: Postoji barem jedan element u $\mathbb{N}$, označimo ga sa 1, takav da je $s(n) \ne 1,\; \forall x\in\mathbb{N}$.

Aksiom C: Ako je $s(m)=s(n)$ za $m,n\in\mathbb{N}$, onda je $m=n$.

Aksiom D: Ako je $\mathrm{M}$ podskup od $\mathbb{N}$ i ako vrijedi:

(I)  $1\in \mathrm{M}$

(II)  $\left(\forall n\in\mathbb{N} \right) \left (n \in \mathrm{M} \Rightarrow s(n) \in \mathrm{M} \right )$

onda je $\mathrm{M}=\mathbb{N}$

Navedeni aksiomi poznati su pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom matematičaru G. Peanu (1858-1931).