Elipsa

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Disambig.svg Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti, pogledajte Elipsa (figura).
Elipsa:
a = velika poluos
b = mala poluos

Elipsa (ili pakružnica)[1] je zatvorena krivulja iz obitelji čunosječnica. Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e).

Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2 i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F1 i F2 uz uvjet 2a>d(F1, F2), tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.

Parametri[uredi VE | uredi]

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

 \epsilon\, =  \frac{e}{a} <1

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

 e = \sqrt{a^2 - b^2}

i

 b = \sqrt{a^2 - e^2}

Jednadžba elipse[uredi VE | uredi]

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)[uredi VE | uredi]

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je jednadžbom

 b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b ^2 \,

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

 {\frac{ x ^2}{ a^2}+ \frac{y^2}{b^2}}= 1

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)[uredi VE | uredi]

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

 b^2(x-p)^2 + a^2(y-q)^2 = a^2b^2 \,

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

 \frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2}= 1

Tangenta elipse[uredi VE | uredi]

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)[uredi VE | uredi]

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T (x_0, y_0) na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

 2b^2 xdx + 2a^2ydx = 0\,

odakle slijedi da je

 y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, = - {\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}}

te da je jednadžba tangente na elipsu

 y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{x_0}{y_0}}(x-x_0)

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

 \frac{x_0x}{a^2} +  \frac{y_0y}{b^2} = 1

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)[uredi VE | uredi]

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T (x_0,y_0) na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

 {2b^2(x-p)dx+2a^2(y-q)dy} = 0 \,

odakle slijedi da je je

 y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, =  -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

 y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}(x-x_0)

Vidi također[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]