Iracionalni broj

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Iracionalni brojevi lat.(prefiks i - ne + ratio - omjer, razmjer), su oni brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomaka.

Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 4 9 16.

Drugi korijen iz dva.png

Vidi promjer za jedno od objašnjenja čemu služi broj 9

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo točaka (iracoionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu sumjerljive s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnom pravcu.

Euklidov dokaz[uredi VE | uredi]

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na sljedeći način:

  • dopustimo da korijen od 2 jest racionalan (vidi dokaz kontradikcijom).
  • onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelitelja (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda \frac{n^2}{m^2} = 2, n^2 = 2m^2, gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se n^2 dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (4^2 = 16, na primjer, ali 5^2 = 25; dokaz nije složen).
  • Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda n = 2r, i (2r)^2 = 2m^2, 4r^2 = 2m^2. Ovo pak znači 2r^2 = m^2 i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.


P math.png Nedovršeni članak Iracionalni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.