Monoid

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

U apstraktnoj algebri monoid je algebarska struktura s jednom asocijativnom binarnom operacijom i neutralnim elementom.

Definicija[uredi VE | uredi]

Monoid je skup M s binarnom operacijom * : M × M → M, te za koji vrijede sljedeći aksiomi:

  • Zatvorenost: (\forall a, b \in M),\ a*b \in M (za svake a i b iz M, a*b je također u M)
  • Asocijativnost: (\forall a, b, c \in M),\ (a * b) * c = a * (b * c)
  • Neutralni element: (\exists e \in M)\ (\forall a \in M)\ (a * e = e * a = a) (postoji element e iz M, takav da je za svaki a iz M vrijedi a*e = e*a = a.)

Također možemo reći da je monoid polugrupa s neutralnim elementom.

Monoid zadovoljava sve aksiome grupe osim postojanja inverza.

Primjeri[uredi VE | uredi]

  • Svaki jednočlani skup {x} tvori monoid koji ima samo jedan element. Za fiksirani x je taj monoid jedinstven budući da aksiomi monoida zahtjevaju da u ovom slučaju bude x*x = x.
  • Svaka grupa je monoid.
  • Svaka polugrupa S se može pretvoriti u monoid tako da joj dodamo element e koji nije u S i definiramo e*e = e i e*s = s*e = s, za svaki s ∈ S.
  • Neka je S skup. Tada je skup svih funkcija S → S s operacijom kompozicije funkcija monoid. Neutralni element je funkcija identiteta, tj.
    f : S → S takva da je f(s) = s, za svaki s ∈ S.

Svojstva[uredi VE | uredi]

  • Izravno iz definicije se može pokazati da je neutralni element jedinstven:
Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, e1 i e2. Tada je: e1 = e1*e2 = e2