Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori [uredi]

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora $\nabla$ , što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

$\nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z},$

a definicija operatora $\nabla$ u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija	Notacija
Gradijent	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$
Rotacija	$\operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$
Divergencija	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$
Laplasijan	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$

Najpoznatiji teoremi [uredi]

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv	Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula	$\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}.$
Greenov teorem	$\int_{C} \left( L\, dx + M\, dy \right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$
Stokesov teorem	$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$
Gaussov teorem	$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},$