Zmajolika krivulja

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
zmajolika krivulja

Zmajolika krivulja (en. Dragon curve) je beskonačno gusta krivulja koja je dobila ime po mitološkom biću kojemu sliči[1]. Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krivulje koje se mogu konstruirati rekurzivnim metodama kao što je Lindenmayerov sustav.



Heighwayova zmajolika krivulja[uredi VE | uredi]

iteracije 1-5 i 9

Zmajolikom krivuljom (u užem smislu) obično se naziva ova krivulja. Prvi su je istraživali NASA-ini fizičari John Heighway, Bruce Banks i William Harter. Opisao ju je Martin Gardner u kolumni Matematičke igre (Mathematical Games) u časopisu Scientific American 1967. godine. Bila je nacrtana na naslovnim stranicama dijelova romana Michaela Crichtona Jurski park.


Konstrukcija[uredi VE | uredi]

Najčešće se crta pomoću L-sustava:

  • kut: 90
  • početak: FX
  • pravila:
    • X \mapsto X + Y F +
    • Y \mapsto - F X - Y
  • značenje:
    • F = "crtaj naprijed"
    • - = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90"
    • + = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90"

Dakle,

  • prva iteracija: F X + Y F +
  • druga iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F +
  • treća iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +
  • četvrta iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +


Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sustav rekurzivnih funkcija u kompleksnoj ravnini:

f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}
f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2}.

Svojstva[uredi VE | uredi]

Unatoč čudnom obliku, zmajolika krivulja ima relativno jednostavne dimenzije:

Dimensions fractale dragon.gif

Površina se jednostavno može vidjeti iz njezina popločenja: površina slike gore jest pola kvadratne jedinice.

Samosličnost je jasno vidljiva: svaki "dio" je manji za \sqrt{2} i rotiran za 45˚.

Auto-similarity dragon curve.gif

Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivuljama u ravnini 2, a fraktalna dimenzija njezine granice se procjenjuje na 1.5238.

Davis-Knuthova zmajolika krivulja[uredi VE | uredi]

Davis-Knuthova zmajolika krivulja

Na engleskom poznatija pod nazivom twindragon ("zmajevi blizanci"). Dobije se postavljajući dvije zmajolike krivulje jednu do druge (leđa o leđa) ili sustavom iteriranih funkcija:

f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}
f_2(z)=\frac{(1+i)z+1-i}{2}.

Vidi još[uredi VE | uredi]

Logotip Zajedničkog poslužitelja
Na Zajedničkom poslužitelju postoje datoteke na temu: Zmajolika krivulja.


Izvori[uredi VE | uredi]