Analitička geometrija

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Torus.png

Analitička geometrija je grana geometrije u kojoj se koriste algebarske metode prvenstveno linearne algebre da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primjenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta. Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. euklidskom geometrijom (prostornom geometrijom).


Koordinatni sustav[uredi | uredi kôd]

Cartesien-system.svg

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R2[uredi | uredi kôd]

Koordinatni sustav i transformacije[uredi | uredi kôd]

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranje[uredi | uredi kôd]

Ako x0, y0 su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

Rotacija[uredi | uredi kôd]

Ako se kut rotiranja smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

Udaljenost između dvije točke[uredi | uredi kôd]

Udaljenost između točaka (x1, y1) i (x2, y2) je:

Površina trokuta[uredi | uredi kôd]

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3), njihova površina je

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x1,y1), (x2, y2) i (x3, y3) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenosti[uredi | uredi kôd]

Ako se udaljenost između točaka (x1, y1) och (x2, y2), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

Koeficijent kuta pravca[uredi | uredi kôd]

Neka je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x1, y1) i (x2,y2) onda je oeficijent kuta pravca:

Jednadžba pravca[uredi | uredi kôd]

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

znači pravac paralelan s y-osom i

pracac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

je pracac kroz koordinatni početak.


k-formula[uredi | uredi kôd]

Pravac se može napisati i u obliku

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

Intercept-form.svg

Presjek[uredi | uredi kôd]

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

Standardni oblik[uredi | uredi kôd]

Line-normal-form.svg

je standardni oblik pravca. och m bestäms ur

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravca[uredi | uredi kôd]

Pravac napisan u standardom obliku

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x1,y1):

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točku[uredi | uredi kôd]

Jednadžba za pravac kroz točku (x1, y1) s kutnim koeficijentom k je

Formula pravca kroz dvije točke[uredi | uredi kôd]

Jednadžba za pravac kroz točke (x1, y1) i (x2, y2) je

Kut između dva pravca[uredi | uredi kôd]

Ako su koeficijenti kuta pravca k1 i k2 kut između pravaca izračunava se kao:

Krivulje u ravni[uredi | uredi kôd]

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

u implicitnom obliku

ili u parametarskom obliku

U polarnim koordinatama jednadžba krivulje je

ili

Tangenta[uredi | uredi kôd]

Tangent-2D.svg

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

Asymptot.svg

Asimptote[uredi | uredi kôd]

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

Analitička geometrija u R3[uredi | uredi kôd]

Koordinatni sustav u R3

Koordinatni sustav[uredi | uredi kôd]

Koordinatni sustav u R3 koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinate[uredi | uredi kôd]

Kosinus smjera[uredi | uredi kôd]
Riktningscosiner.svg

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

gdje

su kosinusi smjera označeni sa a, b i c za koje vrijedi

Kut između dva pravca[uredi | uredi kôd]

Ako imamo dva pravca, OA1 sa kosinusima smjera a1, b1 i c1 i OA2 sa kosinusima smjera a2, b2 i c2, onda vrijedi za kut između OA1 i OA2:

Rotacija koordinatnog sustava[uredi | uredi kôd]

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa
za y'-os sa
za z'-os sa

biće transformacije

Udaljenost između dvije točke[uredi | uredi kôd]

Udaljenost d između točaka (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2) je

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

Ravnina u R3[uredi | uredi kôd]

Plane-definition-2.svg

Ako je (x0, y0, z0) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x0, y - y0, z - z0):

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

gdje je D

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

Znak pred korijenom se izabire tako da je

uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblik[uredi | uredi kôd]

Dijeljenjem sa

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

gdje su kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblik[uredi | uredi kôd]

Plane-definition.svg

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r0 i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

Udaljenost točke od ravnine[uredi | uredi kôd]

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

Kut između dvije ravnine[uredi | uredi kôd]

Kut između dvije ravnine

izračunava se pomoću jednadžbe

Plane-angle.svg

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

Pravac[uredi | uredi kôd]

IntersectingPlanes.png

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x0, y0, z0) na pravcu i vektora pravca u:

Line in vector form,R3.svg

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

ili

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao


Krive linije u R3[uredi | uredi kôd]

Kriva linija u R3 može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

U parametarskom obliku:

U vektorskom obliku:

Primjer:

Skruvlinje.svg

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

Dužina luka[uredi | uredi kôd]

Dužina luka na krivoj liniji je

Dužina luka između t0 i t je

Tangenta[uredi | uredi kôd]

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

Okomita ravan[uredi | uredi kôd]

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je


Dodirna ravnina[uredi | uredi kôd]

U točki na krivoj liniji u R3 može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

ili u vektorksom obliku

Glavna okomica[uredi | uredi kôd]

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

Površine u R3[uredi | uredi kôd]

Površina u R3 može se napisati u parametarskom obliku

ili u vektorskom obliku

Jednadžba se može također dati kao

ili

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

Linijski element[uredi | uredi kôd]

Jednadžba tangente ravnine[uredi | uredi kôd]

Ako je jednadžba površine

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x0, y0, z0):

ili u vektorskom obliku kao

Jednadžba okomice na površinu[uredi | uredi kôd]

Ako je jednadžba površine

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x0, y0, z0):

ili