Derivacija

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Disambig.svg Ovo je članak o pojmu iz matematike. Za druga značenja, pogledajte Derivacija (jezikoslovlje).
Pravac L tangira funkciju f u točki P čija derivacija odgovara nagibu pravca L u točki P

U matematici derivacije funkcija zajedno s integralnim računom glavne su osnove infinitezimalnog računa koji ima široku primjenu u svim znanstvenim i mnogim drugim područjima gdje je potreban proračun razvoja funkcije u određenom intervalu. Tako je npr. u geometriji derivacija nagib tangente na funkciju u određenoj točki, u ekonomiji npr. rast inflacije u vremenu, a u fizici deriviranjem puta po vremenu dobijemo iznos brzine.

Definicija[uredi VE | uredi]

Ovisno o kontekstu, izričaj i smisao definicije derivacije može biti različit. Međutim, u ogromnoj većini primjena u prirodnim, tehničkim i društvenim znanostima, te na razini matematike na početnim godinama studija, smisao derivacije je sljedeći:

Deriviraju se funkcije. Derivacija opisuje brzinu promjene funkcije u odnosu na promjenu nezavisne varijable (argumenta funkcije). Deriviranjem funkcije dobije se druga funkcija istih argumenata. Za pojedinu vrijednost nezavisne varijable (derivacija u točki), derivacija je u toj točki jednaka 1 ako funkcija raste (povećava se vrijednost funkcije) jednako brzo kao i nezavisna varijabla; ako funkcija raste brže/sporije, derivacija je veća/manja od 1, te jednaka nuli ako se funkcija ne mijenja. Simetrično, ako funkcija pada (umanjuje se vrijednost funkcije dok argument raste), derivacija je negativna. Za neke funkcije derivacija ne postoji u nekim (ili u svim) točkama. Ako derivacija postoji, kaže se da je funkcija derivabilna u tim točkama ili u tome dijelu svoje domene.

Najjednostavnije se definira derivacija realne funkcije jedne realne varijable. Ako je to funkcija f nezavisne varijable označene sa x, tj. funkcija f(x), njezina derivacija u točki x formalno se definira kao:

 \frac{df}{dx} (x) = f'(x) = Df (x) =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\!


Na lijevoj strani izraza navedene su tri ekvivalentne oznake za derivaciju funkcije f(x). Derivacija u točki x jednaka je graničnoj vrijednosti ili limesu (oznaka lim) razlomka na desnoj strani.

Sam razlomak je omjer promjene funkcije i promjene nezavisne varijable u blizini proizvoljno odabrane vrijednosti varijable x. Promjena varijable, u nazivniku, obilježena je sa h (često se umjesto h koristi oznaka Δx). Varijabla se, dakle, mijenja sa x na x+h. Pritom se funkcija promijeni sa f(x) na f(x+h), pa njezina promjena iznosi f(x+h)-f(x), kako je navedeno u brojniku.

Vrijednost samog razlomka je prosječna brzina promjene funkcije na intervalu od x do x+h. Ona ovisi o početnoj vrijednosti x i veličini intervala h. Ako se uzastopno uzimaju sve manji i manji intervali h, kod derivabilne funkcije vrijednost razlomka sve se više i više približava broju koji je granična vijednost ili limes razlomka u točki x, odnosno derivacija funkcije u toj točki.

Primjer[uredi VE | uredi]

Za ilustraciju, ovako se derivira funkcija f(x)=x2:

(x^2)' =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h) = 2x


što znači da je funkcija x2 derivabilna u cijeloj domeni (za sve vrijednosti varijable x), a njezina derivacija je funkcija 2x. Derivacija u pojedinoj točki dobije se uvrštavanjem vrijednosti za x, npr. u točki x=3 derivacija funkcije x2 iznosi 2x=6.

U gornjem izrazu, prvi razlomak dobiven je upisivanjem funkcije x2 umjesto opće oznake f(x) iz definicije derivacije (prethodni izraz). Potom slijedi jednostavni račun u brojniku: kvadriranje binoma u zagradi, te oduzimanje članova x2, čime se dobiva drugi razlomak. U narednom koraku pokrati se h (i brojnik i nazivnik podijele se s h), pa se dobije jednostavni izraz 2x+h u zagradi ispred koje je i dalje oznaka "limes h prema nuli".

Jedini konceptualno zanimljiv postupak u opisanome zahvatu je određivanje granične vrijednosti (limesa) promatranih izraza "kada h teži prema nuli". Smisao je sljedeći: za promatrani x (dakle, za proizvoljni broj označen kao x) treba odrediti vrijednost (drugi broj, ovisan o x) kojoj se sve više približava početni razlomak kad se h približava nuli. Prva pomisao mogla bi biti da se odmah naprosto uvrsti h=0 u taj razlomak, ali to ne bi imalo smisla. Naime, h označava promjenu varijable, za koju se računa promjena funkcije; ako je nula, tih promjena nema, pa se iz njih ne može računati brzina promjene funkcije. A i formalno gledano, ne možemo imati nulu u nazivniku, jer je dijeljenje s nulom besmisleno.

Zato provodimo račun kojim se početni razlomak pojednostavnjuje, a oznaka limesa ispred pojedinih izraza govori da h nije jednak nuli, nego ćemo samo promatrati kako se izraz ponaša kad se h približava nuli. Upravo to nam je i omogućilo kraćenje razlomka (dijeljenje s h koje se ne bi moglo provesti ako bi bilo h=0). No, kad dođemo do izraza 2x+h (u zagradi ispred koje još stoji oznaka limesa), postaje napokon očigledno kojoj se vrijednosti taj izraz po volji blizu približava kada h "teži" nuli: ta granična vrijednost je 2x.

Na sličan se način, s malo više računa, određuju derivacije različitih derivabilnih funkcija (neke su navedene u tablici kasnije u tekstu), ili se izvode pravila o deriviranju zbroja funkcija, umnoška itd. Zato se u praktičnom računu opisani postupak više ne mora ponavljati, ako se mogu primjeniti takve "tablične derivacije" i pravila.

O derivacijama višeg reda, parcijalnim derivacijama itd.[uredi VE | uredi]

Gornja definicija opisuje najjednostavniji pojam derivacije, za koju se još kaže i da je to "obična derivacija prvog reda". Deriviranjem derivacije prvog reda dobiva se derivacija drugog reda iste funkcije. Na sličan način definira se derivacija trećega i viših redova.

Ako funkcija ima više nezavisnih varijabli, ona se može derivirati po svakoj varijabli zasebno. Takve se derivacije nazivaju parcijalnim derivacijama. Parcijalno deriviranje drugoga i viših redova može se provoditi po istoj varijabli funkcije, ili po nekoj drugoj od njezinih varijabli (mješovite derivacije).

Kao i kod realne funkcije realnih varijabli, sličnim graničnim postupkom definiraju se derivacije funkcija kojima su funkcijske vrijednosti ili varijable kompleksni brojevi ili vektori (a često i kada su elemnti domene i kodomene neki drugačiji objekti). Pritom se različitim kombinacijama parcijalnih derivacija dobivaju tzv. diferencijalni operatori kao što su gradijent, divergencija itd.

Geometrijska interpretacija[uredi VE | uredi]

Ableitung.png

U geometrijskom smislu derivacija funkcije f je nagib tangente u određenoj točki x_0, odnosno koeficijent smjera pravca koji je tangenta na funkciju f u točki čije su koordinate (x_0,f(x_0)).

Koeficijent smjera pravca m je:

m =\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}

odnosno:

m =\frac {f(x+h)-f(x)}{(x_0+h)-x_0} =\frac {f(x+h)-f(x)}{h}

jer je (x_0+h)-x_0=h i \Delta x = h.

Derivacija funkcije je:

Df =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}

Koeficijent smjera pravca usko je povezan sa derivacijom iz razloga što kada interval x_2-x_1=h teži nuli, pravac postaje tangenta funkcije, a limes njegovog koeficijenta smjera postaje derivacija funkcije f u točki (x_0,f(x)).

Tablica derivacija elementarnih funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcija f(x) Derivacija f'(x) Funkcija f(x) Derivacija f'(x)
\sin x \cos x \sinh x \cosh x
\cos x -\sin x \cosh x \sinh x
\tan x \frac{1}{\cos^2 x} \tanh x \frac{1}{\cosh^2 x}
ctg x -\frac{1}{\sin^2 x} ctgh x -\frac{1}{\sinh^2 x}
\arcsin x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} arsinh x \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\arccos x -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} arcosh x \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
\arctan x \frac{1}{1+x^2} artanh x \frac{1}{1-x^2}
arcctg x -\frac{1}{1+x^2} arctgh x \frac{1}{1-x^2}
e^x e^x a^x a^x \ln a
ln(x) \frac{1}{x} \frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}
\log_{a} x \frac{1}{x \ln a} x| \frac{x}{|x|}
\sqrt{x} \frac{1}{2 \sqrt{x}} x^n n xn-1

Osnovna pravila deriviranja[uredi VE | uredi]

Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, onda vrijedi:

  1. \left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)
  2. \left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)
  3. \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
  4. \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Derivacija složene funkcije (kompozicije):

(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)