Booleova algebra

Primjeri korištenja Booleove algebre

Booleova algebra je dio matematičke logike – algebarska struktura koja sažima osnovu operacija I, ILI i NE kao i skup teorijskih operacija kao što su unija, presjek i komplement. Booleova algebra je dobila naziv po tvorcu, Georgeu Booleu, britanskom matematičaru iz 19. stoljeća. Booleova algebra je, osim kao dio apstraktne algebre, izuzetno utjecajna kao matematički temelj računarskih znanosti.

Operacije

Njezine su glavne operacijske radnje konjunkcija, disjunkcija i negacija.

Logička operacija I (konjunkcija)

Tablica istinitosti i oznaka za konjunkciju

Konjunkcija (I, AND, logičko množenje) uključuje dvije logičke varijable (izjave) i istinita je samo ako su obje logičke izjave istinite.

Operacija I predočuje se simbolima ᑎ, ᐱ, & ili ·. Najčešće se koristi simbol za množenje ·.

Logička operacija ILI (disjunkcija)

Tablica istinitosti i oznaka za disjunkciju.

Disjunkcija (ILI, OR, logičko zbrajanje) uključuje dvije logičke varijable (izjave) i lažna je samo ako su obje logičke izjave lažne.

Operacija ILI predočuje se simbolima ᑌ, ᐯ ili +. Najčešće se koristi simbol za zbrajanje +.

Logička operacija NE (negacija)

Tablica istinitosti i oznaka za negaciju.

Negacija (NE, NOT) uključuje jednu logičku varijablu (izjavu) i istinita je ako je početna izjava neistinita.

Operacija NE predočuje se simbolom ¬.

Teoremi Booleove algebre

Teoremi Booleove algebre omogućuju pojednostavljivanje složenih logičkih izraza. Teoremi su dokazivne tvrdnje, svaki od njih može se dokazati izrađujući tablicu stanja lijeve i desne strane jednakosti.

Teoremi Booleove algebre
¬¬A=A		involutivnost
A·0=0	A+0=A	logičko množenje i logičko zbrajanje s nulom
A·A=A	A+A=A	logičko množenje i logičko zbrajanje varijable sa samom sobom
A·1=A	A+1=1	logičko množenje i logičko zbrajanje s jedinicom
A·¬A=0	A+¬A=1	komplementarnost
A·(A+B)=A	A+A·B=A	apsorpcija
A·(¬A+B)=A·B	A+¬A·B=A+B
¬(A·B)=¬A+¬B	¬(A+B)=¬A·¬B	De Morganovo pravilo
A·B=B·A	A+B=B+A	komutativnost
A·(B+C)=A·B+	A+(B·C)=(A+B)·(A+C)	distributivnost
(A+B)·(C+D)=A·C+A·D+B·C+B·D

Nedovršeni članak Booleova algebra koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.