Iracionalni broj

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Iracionalni brojevi (iz latinskog; prefiks i - ne + ratio - omjer, razmjer), su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Primjeri (transcendentnih) iracionalnih brojeva su:

Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...

Drugi korijen iz dva.png

Vidi promjer za jedno od objašnjenja čemu služi broj &pi˙ma lozim te nema vise nicega o broju pi˙;.

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo točaka (iracionalnih brojeva)) koje se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu sumjerljive s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz √2 na brojevnom pravcu.

Euklidov dokaz[uredi VE | uredi]

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na sljedeći način:

  • dopustimo da korijen od 2 jest racionalan (vidi dokaz kontradikcijom).
  • onda je √2 = n/m, gdje su n i m cijeli brojevi koji nemaju zajedničkog djelitelja (jer bi inače razlomak mogli skratiti). Ali onda , , gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da je dijeljiv s 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da je i n dijeljiv s 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji su dijeljivi s 2 (, na primjer, ali ; dokaz nije složen).
  • Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako je n dijeljiv s 2, onda , i , . Ovo pak znači i m je dijeljiv s 2. Ali sad smo došli do zaključka da su i m i n dijeljivi s 2, pa se razlomak može skratiti s 2; došli smo do kontradikcije. Stoga, korijen iz 2 je iracionalan.


P math.png Nedovršeni članak Iracionalni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.