Iracionalni broj

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Iracionalni brojevi lat.(prefiks i - ne + ratio - omjer, razmjer), su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:

e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874...
\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923...


Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...

Drugi korijen iz dva.png

Vidi promjer za jedno od objašnjenja čemu služi broj π.

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo točaka (iracoionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu sumjerljive s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnom pravcu.

Euklidov dokaz[uredi VE | uredi]

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na sljedeći način:

  • dopustimo da korijen od 2 jest racionalan (vidi dokaz kontradikcijom).
  • onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelitelja (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda \frac{n^2}{m^2} = 2, n^2 = 2m^2, gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se n^2 dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (4^2 = 16, na primjer, ali 5^2 = 25; dokaz nije složen).
  • Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda n = 2r, i (2r)^2 = 2m^2, 4r^2 = 2m^2. Ovo pak znači 2r^2 = m^2 i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.


P math.png Nedovršeni članak Iracionalni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.